丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01

高三数学（文科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.函数
的定义域为

（A）
（B）
（C）
（D）

2.在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3．“
”是“
”的

（A）充分必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件

4.已知向量
，
，若


，则

（A）
（B）
（C）
（D）

5.已知圆O：
，直线
过点（-2，0），若直线
上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线
的斜率为

（A）
（B）
（C）
（D）

6. 函数
的一个单调递增区间是

（A）
（B）
（C）
（D）

7.如图，在圆
上任取一点
，过点
作
轴的垂线段
，
为垂足.当点
在圆上运动时，线段
的中点
的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是

（A）
（B）

（C）
（D）

8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有

②

③

参考数据：0.4883元/度
2880度=1406.30元，

0.5383元/度
(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.

(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③

第二部分 （非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.设等差数列
的前
项和为
，若
,则
=______ .

10.已知实数
满足
则
的最大值是_____ .

11.已知下列函数：①
；②
；③
，其中奇函数有_________个.

12.下图是计算
的程序框图，判断框内的条件是_______.

13.已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是_______.

14.已知函数

.①当
时，若
，则

_______；②若
是
上的增函数，则
的取值范围是___________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题13分）

如图，在
中，点
在
边上，
，
，
，
.

（Ⅰ）求
的面积；

（Ⅱ）求线段
的长.

16.（本小题13分）

倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径.某调查公司随机调查了1000位成年人一周的平均阅读时间（单位：小时），他们的阅读时间都在
内，将调查结果按如下方式分成五组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，并绘制了频率分布直方图，如图.假设每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为“阅读达人”.

（Ⅰ）求这1000人中“阅读达人”的人数；

（Ⅱ）从阅读时间为
的成年人中按分层抽样抽

取9人做个性研究.从这9人中随机抽取2人，求这

2人都不是“阅读达人”的概率.

17.（本小题14分）

如图，四棱锥
中，底面
是边长为 4的菱形，
，
，
为
中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面

平面
；

（Ⅲ）若
，求三棱锥
的体积.

18.（本小题13分）

设数列
的前
项和为
，满足
，
.

（I）求
的值；

（II）求数列
的通项公式,并求数列
的前n项和
.

19.（本小题14分）

已知点
为抛物线C:
的焦点，过点
的动直线
与抛物线C交于
,
两点，如图.当直线
与
轴垂直时，
.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）已知点
,设直线PM的斜率为
，直线PN的斜率为
.请判断
是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由.

20.（本小题13分）

设函数
的图象与直线
相切于点
．

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）设函数
，对于

,

，使得
，求实数
的取值范围.

丰台区2015-2016年第一学期期末练习

高三数学（文科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

A

D

D

B





二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9． 24 10．5 11．2 12．
13.
14. 1，

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题13分）

解（Ⅰ）∵
，且
，

∴
．

又∵
，

∴
．∴
．

∵
,
，

∴

．………………………………………………………5分

（Ⅱ）　∵
，

且
,
，
，

∴
，

∴
．

又∵
，

∴
． 又∵在
中,
,

∴
,即
,

∴
． ………………………………………………………13分

16.（本小题13分）

解（Ⅰ）由题知“每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为‘阅读达人’”.

由频率分布直方图知，事件
：“是阅读达人”的频率为

∴这1000人中“阅读达人”的人数为：
．……………5分

（Ⅱ）按照分层抽样抽取9人做个性研究，则从小组
，
，
分别抽取的人数为：3，5，1，

分别标记为
，
，
．

从9人中随机抽取2人，共有
种，结果如下：

设事件
：“这2人都不是‘阅读达人’”, 事件
共有
种，

结果如下：
，
，

所以
．……………………………………………………13分

17.（本小题14分）

解（Ⅰ）设
，连结
，

∵
为
中点，
为
中点，

∴
∥
．

又∵
平面
，

平面
，

∴
∥平面
． …………5分

（Ⅱ）连结
，

∵
,
为
中点，

∴
．

又∵底面
为菱形，

∴
.

∵
,

∴
平面
.

又∵
平面
,

∴平面
平面
.……………10分

（Ⅲ）
………12分

． ……………14分

18. (本小题13分)

解：（Ⅰ） ∵
，

∴
．

又∵
，

∴
．

∵
，

∴
，即
，

∴
． ……………………………………………………4分

（Ⅱ） ∵
，

∴当
时，
，

∴
，即
，

∴
．

由
，得
，

∴
是以1为首项，3为公比的等比数列．

∴
， ……………………………………………10分

∴

． …………………………………………………13分

19.（本小题14分）

解（Ⅰ）∵
为抛物线
的焦点，

∴
．…………1分

又∵
与
轴垂直，且
，

∴
．…………2分

又∵点
在抛物线上，

∴
，

∴
，

∴求抛物线C的方程为
．……………5分

（Ⅱ）结论：
，为定值．

设直线
与抛物线交于不同两点
，
，

①当直线
斜率不存在时，知直线
与
关于
轴对称，

∴
．

②当直线
斜率存在时，直线
的方程设为
，

联立
，得
，

∴
，
．

又∵
，
，

且
，
，

∴