北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科） 2016.1

学校___________班级_____________姓名____________考号___________

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合
，集合
，
，那么集合

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于

3 3

3 1

正（主）视图 侧（左）视图

1

3

俯视图

（A）
cm3 （B）
cm3 （C）
cm3 （D）
cm3

（3）设
为虚数单位，如果复数
满足
，那么
的虚部为

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知
，令
，
，
，那么
之间的大小关系为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）已知直线
的倾斜角为
，斜率为
，那么“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）已知函数
，如果关于x的方程
有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点，点
是原点，如果
，
，
，那么
的值为

（D）

（8）如图所示，正方体
的棱长为1,
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
交于
，设
，
，给出以下四个命题：

① 四边形
为平行四边形；

② 若四边形
面积
,
,则
有最小

值；

③ 若四棱锥
的体积

，
，则

常函数；

④ 若多面体
的体积
，
，

则
为单调函数．

其中假命题为

①
②
③ （D）④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

（9） 在
中，
分别为角
的对边，如果
，
，
，那么
.

（10）在平面向量
中，已知
，
.如果
，那么
；如果
，那么
.

（11）已知
满足满足约束条件
，那么
的最大值为___.

（12）如果函数
的图象过点
且
．那么
；

　　
．

（13）如果平面直角坐标系中的两点
，
关于直线
对称，那么直线
的

　　　方程为__.

（14）数列
满足：
，给出下述命题：

　①若数列
满足：
，则
成立；

　②存在常数
，使得
成立；

　③若
，则
；

　④存在常数
，使得
都成立．

　　　上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题共13分）

设
是一个公比为
等比数列，
成等差数列,且它的前4项和
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
,求数列
的前
项和.

（16）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期和在
上的单调递减区间；

（Ⅱ）若
为第四象限角，且
，求
的值.

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，

底面
，
,
为棱
的中点.

（Ⅰ）证明:
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）若
为
中点，棱
上是否存在一点
，使得
，若存在，

求出
的值，若不存在，说明理由.

（18）（本小题共13分）

已知椭圆
（
）的焦点是
，且
，离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若过椭圆右焦点
的直线
交椭圆于
，
两点，求
的取值范围．

（19）（本小题共14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，试求
在
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，试求
的单调区间；

（Ⅲ）若
在
内有极值，试求
的取值范围．

（20）（本小题共13分）

已知曲线
的方程为：
.

（Ⅰ）分别求出
时，曲线
所围成的图形的面积;

（Ⅱ）若
表示曲线
所围成的图形的面积，求证：
关于
是递增的;

(III) 若方程
，
，没有正整数解，求证：曲线
上任一点对应的坐标
，
不能全是有理数.

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案

高三数学 （理科） 2016.1

学校___________班级_____________姓名____________考号___________

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

A

B

C

B

B

A

D





第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）①④

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题共13分）

设
是一个公比为
等比数列，
成等差数列,且它的前4项和
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
,求数列
的前
项和.

解：（Ⅰ）因为
是一个公比为
等比数列，

　　所以
．

　　因为
成等差数列，

　　所以
即
．

　　解得
.

　　又它的前4和
，得
，

　　解得
．

　　所以
. 　　　　　　 …………………9分

（Ⅱ）因为
，

　所以
． 　　 ………………13分

（16）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期和在
上的单调递减区间；

（Ⅱ）若
为第四象限角，且
，求
的值.

解：（Ⅰ）由已知

所以 最小正周期

由

得

故函数
在
上的单调递减区间
…………9分

（Ⅱ）因为
为第四象限角，且
，所以
．

所以
=

．…………………13分

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，

底面
，
,
为棱
的中点.

（Ⅰ）证明:
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）若
为
中点，棱
上是否存在一点
，使得
，若存在，

求出
的值，若不存在，说明理由.

（Ⅰ）证明：因为
底面
，

　所以

．

　因为

，

　所以
.

由于
，

所以有
．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………………４分

（Ⅱ）解：依题意，以点
为原点建立空间直角坐标系（如图），

　不妨设
，可得
，
，
，

　
.

由
为棱
的中点，得
.

　向量
,
.

　设
为平面
的法向量，则

即
．

　不妨令
，可得
（1,1,1）为平面