北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
.若
，则实数

（A） （B）

（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）已知向量
，
.若
与
平行，则实数
的值是

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）经过圆
的圆心且与直线
平行的直线方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）给出下列函数：

①
； ②
； ③
； ④
.

其中图象关于
轴对称的是

（A）①② （B）②③

（C）①③ （D）②④

（6）“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（7）某程序框图如图所示，当输入的
的值为
时，输出的
值恰好是
，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）已知函数
与
的图象上存在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）双曲线
的离心率是_________.

（10）在△
中，角
,
,
所对边分别为
,
,
，且
,
,面积
，则

_________；
=_________.

（11）如图是
名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，

则测试成绩落在
中的学生人数是_________.

（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

（13）已知点
的坐标满足条件
点
为坐标原点,那么
的最大值等于_________.

（14）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以
，
，
，
，
，等标记来表示纸张的幅面规格. 复印纸幅面规格只采用
系列和
系列，其中
系列的幅面规格为：

①
，
，
，，
所有规格的纸张的幅宽（以
表示）和长度（以
表示）的比例关系都为
；

② 将
纸张沿长度方向对开成两等分，便成为
规格，
纸张沿长度方向对开成两等分，便成为
规格，，如此对开至
规格．

现有
，
，
，，
纸各一张.若
纸的宽度为

，则
纸的面积为
；这
张纸的面积之和等于__________
．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，
．

（I） 求数列
的通项公式；

（II）若
成等比数列，求正整数
的值．

（16）（本小题13分）

已知函数
在一个周期内的部分对应值如下表：























（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）求函数
的最大值和最小值.

（17）（本小题13分）

某中学从高三男生中随机抽取
名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示.

（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；

（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第
，
，
组中用分层抽样抽取
名学生进行体能测试，求第
，
，
组每组各抽取多少名学生进行测试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在
名学生中随机抽取
名学生进行引体向上测试，求：第
组中至少有一名学生被抽中的概率.

组号

分组

频数

频率



第1组









第2组



①





第3组





②



第4组









第5组









合计









（18）（本小题13分）

如图，在四棱锥
中，
，
平面
,
平面
，
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）在线段
上是否存在一点
,使

平面
？若存在,求出

的值；若不存在，说明理由.

（19）（本小题14分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线的方程；

（Ⅱ）若曲线
与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围；

（Ⅲ）设函数
，请写出曲线
与
最多有几个交点.（直接写出结论即可）

（20）（本小题14分）

已知椭圆
过点
，且满足
.

(Ⅰ) 求椭圆
的方程；

(Ⅱ) 斜率为
的直线交椭圆
于两个不同点
，
，点
的坐标为
，设直线
与
的斜率分别为
，
．

① 若直线过椭圆
的左顶点，求此时
，
的值；

② 试探究
是否为定值？并说明理由.

东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1） C （2）C （3）D （4）A

（5）B （6）B （7）C （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题意知
，即
，

由
，解得
.

所以
，即
,
. ………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，所以
.

又
，
，

由已知可得
，即
，

整理得
，
.

解得
（舍去）或
.

故
. ………………………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由表格可知，
的周期
，

所以
.

又由
，且
，所以
.

所以
. ………………………………6分

（Ⅱ）

.

由
，所以当
时，
有最大值
；

当
时，
有最小值
. ………………………………13分

（17）（共13分）

解：（Ⅰ）由题可知，第
组的频数为
人，第
组的频率为
.

即①处的数据为
，②处的数据为
. ………………………………3分

（Ⅱ）因为第
，
，
组共有
名学生,所以利用分层抽样,在
名学生中抽取
名学生,每组分别为:

第
组:
人；第
组:
人；第
组:
人.

所以第
，
，
组分别抽取
人，
人，人. ………………………………6分

（Ⅲ）设第
组的
位同学为
，
，
，第
组的
位同学为