大庆实验中学2015—2016学年度上学期高三期中考试

数 学 试 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集
,集合
，
，则集合

A．
B．
C．
D．

2、复数
（
为虚数单位），则复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

3、函数
的反函数为

A．
B．
C．
D．

4、在等差数列
中，若
，则
的值为

A．20 B．40 C．60 D．80

5、函数
的值域是

A．
B．
C．
D．

6、
是定义域为
的偶函数，
为
的导函数，当
时，恒有
，设
，则满足
的实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

7、已知定义在
上的函数
是奇函数，且
，则
值为

A．3 B．2 C．1 D．0

8、已知
，
，
夹角为
，向量
满足
，则
的最大值为

A．
B．
C．4 D．

9、若
，
，
则

A．
B．
C．
D．

10、已知
，
的图像与
的图像关于
轴对称，将
图像上各点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），再向左平移
个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为

A．
B．
C．
D．

11、给出下列4个命题：

①在△
中，“
”是“
”的充要条件；

②
是
，
，
成等比数列的充要条件；

③若
，则
；

④若
是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，
，则
；

其中真命题的个数为

A．1 B．2　 C.3 D．4

12、已知
为偶函数，且
，在区间
上，
，
则函数
零点的个数为

A．4 B．5　 C.6 D．8

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13、已知等比数列
中，
，
若
，则
= .

14、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，
＝3
，
·
＝4，则
·
的值是________．

15、已知函数
则
= ．

16、已知
，
，若对任意实数
，都有
，则
的最大值为

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17、（本小题满分10分）已知等差数列
中，且
，
。

（Ⅰ）求
的通项
；

（Ⅱ）求
前
项和
的最大值。

18、（本小题满分12分）三角形
中，三内角
，
，
成等差数列，
，
，
，
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求
，
.

19、（本小题满分12分）已知
，其中
.

（Ⅰ）求函数
的最值；

（Ⅱ）若
在区间
上为增函数，求
的取值范围。

20、（本小题满分12分）已知数列
中，
，
，数列
的前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求数列
的前
项的和.

（Ⅲ）数列
的前
项和
，求
．

21、（本小题满分12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）已知过原点的直线
与
相切，求直线
的斜率
；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，有
，则
的取值范围是什么．

22、（本小题满分12分）已知函数
，
的最小值为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）设
，比较
与2的大小.

参考答案

1、C；2、B；3、D；4、B；5、C；6、A；7、D；8、A；9、C；10、B；11、A；12、C；

13、8；14、40；15、
；16、

17、解：（Ⅰ）设
的公差为
，由已知条件解出
，
．

所以
．

（Ⅱ）

．

所以
时，
取到最大值
．

18、解：（Ⅰ）在
中，因为
，所以
.所以

.

（Ⅱ）在
中，由正弦定理得
，所以
.

在
中，由余弦定理得

，所以
.

19、解：（Ⅰ）
，最值为

（Ⅱ）由已知知，
即
。

20、解：（Ⅰ）
，则

．又
，
数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
．当
时，
，

（Ⅱ）
；

（Ⅲ）
，当
时，
；

当
时，
，…………①

，………………………②

得：

．
．

又
也满足上式，
．

21、解：（Ⅰ）

（Ⅱ）设f(x)=
，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，若a≤0，则f′(0)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，当x∈
时，f′(x)>0，当x∈
时，f′(x)<0，所以f(x)在
上单调递增，在
上单调递减．

所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是
，单调递减区间是
．

（Ⅲ）
＝
，令g(x)＝xln x－a(x2－1)(x≥1)，则g′(x)＝ln x＋1－2ax.

令F(x)＝g′(x)＝ln x＋1－2ax，则F′(x)＝.

若a≤0，则F′(x)>0，g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，g′(x)≥g′(1)＝1－2a>0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，从而
，不符合题意．

若00，所以g′(x)在
上单调递增，从而g′(x)>g′(1)＝1－2a>0，

所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(1)＝0，所以
，不符合题意．

③若a≥，则F′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立．所以g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)＝1－2a≤0，从而g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，即
，符合题意．综上所述，a的取值范围是
.

22、解：（Ⅰ）

（Ⅱ）由（1）得
，即
，所以

.