大庆实验中学2015—2016学年度上学期期中考试

高三年级数学试题（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）

A．{1} B．{1，5} C．{1，3，5} D．{1，4}

2．命题“
”的否定是 （ ）

A．
B．

C．
D．

3．已知
，
，
．则（ ）

A．
B．
C．
D．

4．过点
且平行于直线
的直线方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知
，则
等于（ ）

A．1 B．
C．
D．

6．直线
与圆
相交于A，B两点，则弦|AB|=（ ）

A．
B．
C．
D．

7．若幂函数
的图像经过点
，则它在点A处的切线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
，
，则
（ ）

A．
B．
C．1 D．

9．直线
与抛物线
相交于A,B两点，则线段AB的中点P的轨迹方程是（ ）

A．

B．

C．

D．

10．函数
在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D.

11．设
分别为双曲线
的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点Ｐ，满足
，且
到直线
的距离等于
，则双曲线的离心率是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立．则（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数
，则
________。

14．
+
的值为________。

15．在极坐标系中,
为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为
．在以极点
为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线
的参数方程为
（t为参数），直线
与圆C相交于A，B两点，已知定点
,则|MA|·|MB|=________。

16．已知函数
，其中a∈R，在x∈[0，+∞）上存在最小值，则a的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17．（本小题满分10分）已知集合
，集合
，

集合
．命题
，命题

（Ⅰ）若命题
为假命题，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若命题
为真命题，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分12分）已知函数
，
．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期与单调增区间；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值与最小值．

19．（本小题满分12分）已知平面内一动点
（
）到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于2，

（1）求动点
的轨迹
的方程；

（2）过点
的直线
与轨迹
相交于不同于坐标原点
的两点
，求
面积的最小值．

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知曲线
：
（
为参数），将
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍和
倍后得到曲线
．以平面直角坐标系
的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
：
．

（1）试写出曲线
的极坐标方程与曲线
的参数方程；

（2）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最小，并求此最小值．

21．（本小题满分12分）已知中心在坐标原点，焦点在
轴上的椭圆过点
，且它的离心率
．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）与圆
相切的直线
交椭圆于
两点，若椭圆上一点
满足
，求实数
的取值范围．

22．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）当a=1时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）当a≤0时，讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且
，有
，恒成立，若存在求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

大庆实验中学2015—2016学年度上学期期中考试

高三年级数学试题（文科）答案

1—5 CDABA 6—10 CDACD 11—12BC

13．18 14．0 15．
16．（﹣∞，1]

17．【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）

试题解析：
,
，

（Ⅰ）由命题
是假命题，可得
，即得
------5分

（Ⅱ）

为真命题，

都为真命题，即
且

有
，解得
．------10分

18．【答案】（1）
，增区间为
；

（2）最小值
，最大值
．

试题解析：

（Ⅰ）
的最小正周期为

令
，解得
，

所以函数
的单调增区间为
．------6分

（Ⅱ）因为
，所以
，

所以
，所以
．

当且仅当
时
取最小值

当且仅当
，即
时最大值
．------12分

19．【答案】（1）
；（2）8

试题解析：（1）∵平面内一动点
到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于2，

∴当
时，点
到
的距离等于点
到直线
的距离，

∴动点
的轨迹为抛物线，∴动点
的轨迹C的方程为
； -------5分

（2）设
点坐标为
，
点坐标为
，

过点
的直线
的方程为
，代入
，可得
，

，∴
面积
，

∴
时，
面积的最小值为8． ------12分

20．【答案】（1）曲线
：
，曲线
的参数方程是
（
是参数）．

（2）
，

试题解析：（1）由已知得曲线
的直角坐标方程是
，

所以曲线
的极坐标方程是
，

因为曲线
的直角坐标方程是
，所以根据已知的伸缩变换得曲线
的直角坐标方程是
，所以曲线
的参数方程是
（
是参数）． ------5分

（2）设
.由已知得直线
的直角坐标方程是
.所以点P到直线
的距离
.当
即
时.
.此时点P的坐标是
.所以曲线
上的一点
到直线
的距离最小，最小值是
.---12分

21．【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）

解:（Ⅰ） 设椭圆的标准方程为

由已知得:
解得

所以椭圆的标准方程为:
------4分

（Ⅱ） 因为直线
:
与圆
相切

所以，

把
代入
并整理得:

设
，则有

因为，
， 所以，

又因为点
在椭圆上， 所以，

因为
，所以

所以
，所以
的取值范围为
-----12分

22．【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在实数
.

试题解析：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为
，

当a=1 时，

∴当
时，
，
，
．

∴
在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为
----3分

（Ⅱ）∵
，

∴（1）当
时，若
时，
，
为增函数；

时，
，
为减函数；

时，
，
为增函数．

（2）当
时，
时，
为增函数；

（3）当
时，
时，
，
为增函数；

时，
，
为减函数；

时，
，
为增函数------7分

（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的
，且x1≠x2，有
恒成立，

不妨设0＜x1＜x2，只要
，即：
，

令
，只要
在
为增函数

又函数
．

考查函数

要使
在
恒成立，只要
，即
，

故存在实数
时，对任意的
，且x1≠x2，有
恒成立。------12分