哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，那么集合

A．
B．
C．
D．

2．已知不共线的向量
，
，
，则

A．
B．
C．
D．

3．等差数列
中，
，则这个数列的前13项和为

A．13 B．26 C．52 D．156

4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

5．将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象

关于点
对称，则
的最小值是

A．
B．1 C．
D． 2

6．设
，则

A．
B．1 C．3 D． -1

7．设
是由正数组成的等比数列，
为其前
项和，已知
，
则

A．
B．
C．
D．

8．定义在
上的奇函数
满足
且
，则

A． -2 B．0 C．2 D．4

9．已知函数
命题
，则

A．
是真命题，
B．
是真命题，

C．
是假命题，
D．
是假命题，

10．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

11．在
中，角
的对边分别是
，若
，则
的形状是

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

12．已知函数
，若
，且
对任意
恒成立，则
的最大值为

A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．等差数列
中，
，则
．

14．设
为锐角，若
则
．

15．已知向量
，
，在
轴上存在一点
使
有最小值，则点
的坐标是 ．

16．在平面直角坐标系
中，使角的顶点与原点重合，角的始边与
轴的非负半轴重合．已知点
是角
终边上一点，
，定义
．对于下列说法：

①函数
的值域是
； ②函数
的图象关于原点对称；

③函数
的图象关于直线
对称； ④函数
是周期函数，其最小正周期为
；

⑤函数
的单调递减区间是

其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）

已知数列
的前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求证：
是等差数列；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

18．（本题满分12分）

已知向量



函数

．

（Ⅰ）求函数
的图象的对称中心和单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，角
的对边分别是
，且
且
，求
的值．

19．（本题满分12分）

四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，∠APD=60°，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA⊥平面ABCD，E为PC的中点．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求直线PD与平面BDE所成角的大小．

20．（本题满分12分）

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．

（Ⅰ）求证：C1D⊥D1E；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E ? 若存在，求
的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若二面角B1-AE-D1的大小为90°，求AD的长．

21．（本题满分12分）

设函数
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在原点处的切线方程；

（Ⅱ）试讨论函数
极值点的个数；

（Ⅲ）求证：对任意的
，不等式
恒成立．

请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

已知AB是半圆O的直径，AB=4，点C是半圆O上一点，过C作半圆O的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于E，DE=1．

（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；

（Ⅱ）求BC的长．

23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为

（Ⅰ）求C的参数方程；

（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线
垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D的坐标．

24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲

（Ⅰ）已知不等式
的解集是
，求实数
的值；

（Ⅱ）已知实数
满足
，求
的最大值．

哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试

数学（理科）答案

1-6：BABADC 7-12：BAACDB

13、 6 14、
15、（3，0） 16、 ①③④

17．（1）当
时，由
，得
，相减得：

当
时，
，∴
，

，
，又

是首项为1，公差为1的等差数列. 6‘

（2）
，则
=
12‘

18、解：（1）

2‘

令
，
，
对称中心为
4‘

令
，

增区间：
6‘

（2）
，
，

，


， 8‘

，
，
，且
，
12‘

19、解：（1）

，
，

，又
平面
，平面

平面
，平面

平面
，
平面
6‘

（2）
，
以
分别为
轴，
轴
，
轴，建立空间直角坐标系

，设平面
的一个法向量为
，则
，令
，

，设直线
与平面
所成的角为
，
，
直线
与平面
所成的角为
12‘

20．方法一：

证明：（1）连D1C，长方体中，EC⊥平面DCC1D1，∴EC⊥DC1

∵AB=AA1，∴正方形DCC1D1中，D1C⊥DC1

又EC∩D1C=C，∴DC1⊥平面ECD1

∵D1E
面ECD1，∴C1D⊥D1E 4‘

解：（2）存在点M为AA1中点，使得BM∥平面AD1E．

证明：取A1D1中点N，连BM，MN，NB

∵E为BC中点，∴ND1 BE

∴四边形BED1N是平行四边形，∴BN∥D1E

又BN
平面AD1E，D1E
平面AD1E

∴BN∥平面AD1E

∵MN
AD1，MN
平面AD1E，AD1
平面AD1E

∴MN∥平面AD1E

∵BN∩MN=N，∴平面BMN∥平面AD1E

∵BM
平面BMN，∴BM∥平面AD1E

此时，
8‘

方法二：

证明：（1）以D为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，

则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，B1(a,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E(
,1,0)，

∴
，∴
，∴C1D⊥D1E4‘

解：（2）设
，则
，∴
，
，

设平面AD1E的法向量
，则
，

∴平面AD1E的一个法向量

∵BM∥平面AD1E，∴
，即
，∴

即在存在AA1上点M，使得BM∥平面AD1E，此时
． 8‘

解：（3）设平面B1AE的法向量
，