沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试

高三（16届）数学（理科）试题

命题人：高三数学组 审校人：高三数学组

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分.

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.

第Ⅰ卷（60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1.数列2,5,11,20,
,47,…中,
的值等于(　　 )

A.28 B.32 C.33 D.27

2.已知集合
，
，若
,则实数
的所有可能取值的集合为（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 下列函数中，最小值为4的是（ ）

A.
B.

C.
D.

4．设
，
，
，则( )

A．
B．
C．
D．

5. 下列叙述中，正确的个数是（ ）

①命题
：“
”的否定形式为
：“
”；

②O是△ABC所在平面上一点，若
，则O是△ABC的垂心；

③“M＞N”是“
”的充分不必要条件；

④命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”．

A.1 B.2 C.3 D.4

6.四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于( )

A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

7. 已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )

A.
B.

C.
D.

9.如图，平面内有三个向量
，其中
与
的夹角为
，
与
的夹角为
，且
，若
，则( )

A.
B.

C.
D.

10.定义在R上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为( )

A．
B．
C．
D．

11．如图，正五边形
的边长为2，甲同学在
中用余弦定理解得
，乙同学在
中解得
，据此可得
的值所在区间为( )

A.
B.
C.
D.

12．已知
，对
，使得
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．由直线
，
，
与曲线
所围成的图形的面积等于 .

14．已知变量
满足
,则
的取值范围是 ．

15．如图，在棱柱
的侧棱
上各有

一个动点
，且满足
，
是棱
上的动点，

则
的最大值是 ．

16．设首项不为零的等差数列
前
项之和是
，若不等式
对任意
和正整数
恒成立，则实数
的最大值为 .

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分10分）已知函数
(
)．

（I）求函数
的单调递增区间； （II）

内角
的对边长分别为
，若

且
试求B和C.

18. （本小题满分12分）设数列
的前
项和为
，且

.

（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，

底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．

（Ⅰ）求证：PC//平面BDE；

（Ⅱ）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

20．（本小题满分12分）“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是
(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．

(Ⅰ) 试解释
的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；

(Ⅱ) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？

21．（本小题满分12分）设函数
的图象在点

处的切线的斜率为
，且函数
为偶函数.若函数
满足下列条件：①
；②对一切实数
，不等式
恒成立.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）求证：

.

22．（本题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）若
为
的极值点，求实数
的值；

（Ⅱ）若
在
上为增函数，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）当
时，方程
有实根，求实数
的最大值.

沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试 高三（16届）数学（理科）试题

参考答案及评分标准

1-5：BDCAC 6-10：CABCB 11-12：CA

13.3 14.
15.
16.

17．解：（Ⅰ）∵
…2分

　∴故函数
的递增区间为
(
Z) ………………4分（Ⅱ）
，∴
．

∵
，∴
，∴
，即
． ………6分由正弦定理得：
，∴
，

∵
，∴
或
．………8分

当
时，
；当
时，
．（舍）所以
,
. …………10分

18.解：（Ⅰ）因为
，所以有
成立.

两式相减得：
. …………1分

所以

，即
. …………3分

所以数列
是以
为首项，公比为
的等比数列. ……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，即

.

则

. ……………7分

设数列
的前
项和为
,

则
，

所以
，

所以
，

即

. ……………11分

所以数列
的前
项和
=
，

整理得，

.……………12分

19．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．……………………………………………2分

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．………………………………………………4分

因为PC平面BDE，OE?平面BDE，所以PC //平面BDE．……………………………6分

（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．……………………………………8分

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE＝E，

所以PA⊥平面BDE．………………………………10分

因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．……………12分

20. (Ⅰ)
表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元 …………2分

，
；…………3分

（x≥0）﹒…………5分

(Ⅱ)
…………8分

当
时，即
时有最小值，最小值为
…………11分

当x为15平方米时，y取得最小值7万元 …………12分

21.（Ⅰ）解：由已知得：
. …………1分

由
为偶函数，有
. …………2分

又
，所以
，即
. …………3分

因为
对一切实数
恒成立，即对一切实数
，不等式
恒成立. 当
时，不符合题意. …………4分

当
时，

，得
.

所以
. ……………6分

（Ⅱ）证明：
，所以
.

因为
,…………10分

所以
…11分

所以
成立…………12分

22. 解：（Ⅰ）
．……1分

因为
为
的极值点，所以
． 即
，解得
．……2分

又当
时，
，从而
为
的极值点成立．…………3分

（Ⅱ）因为
在区间
上为增函数，

所以
在区间
上恒成立．………4分

①当
时，
在
上恒成立，所以
在
上为增函数，故
符合题意．…………………………………………5分

②当
时，由函数
的定义域可知，必须有
对
恒成立，故只能
，

所以
在
上恒成立． ………………6分

令
，其对称轴为
，

因为
所以
，从而
在
上恒成立，只要
即可，

因为
，

解得
．………………………………7分

因为
，所以
．

综上所述，
的取值范围为
．………………………8分

（Ⅲ）若
时，方程
可化为
．

问题转化为
在
上有解，

即求函数
的值域．…………………………9分

因为
，令
，

则
，…………………………10分

所以当
时
，从而
在
上为增函数，

当
时
，从而
在
上为减函数，……………11分

因此
．而
，故
，

因此当
时，
取得最大值0．…………………………………12分