沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试

高三（16届）数学(文)试题

命题人：石 莹 审校人：石 莹

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 （60分）

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U=R,
，
，则
( )

A．
B.
C.
D.

2. 设复数
（
是虚数单位），则复数
的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
，则
的大小关系是( )

A.
B.
C.
D.

4. 已知向量
，若
，则
＝ （ ）

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

5. 设
，
是两个不同的平面，
是直线且
．“
”
是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件　 B. 充分必要条件

C．必要而不充分条件 　 D.既不充分也不必要条件

6. 已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

7. 将函数
图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移
个单位，

纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )

A.
B.

C.
D.

9. 函数
的图象大致是（ ）

10.在△ABC中，
分别为∠A，∠B，∠C的对边，且
，若向

量m＝(a－b，1)和n＝(b－c，1)平行，且sin B＝，当△ABC的面积为  时，

则b＝(　 )

A. B．2 C．4 D．2＋

11.定义在R上的奇函数
，当
时，
，则关于
的

函数
的所有零点之和为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 如图，正五边形
的边长为2，甲同学在
中用余弦定理

解得
，乙同学在
中解得
，

据此可得
的值所在区间为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13. 设
,
,则
的值是________.

14. 已知变量
满足
,则
的取值范围是 .

15. 如下数表，为一组等式：

某学生根据上表猜测
，老师回答正确，则
．

16. 在直角梯形ABCD中，AB⊥AB，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧
上变动（如图所示）。若
，其中
的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数
(
)． (Ⅰ) 求函数
的单调递增区间； 　（Ⅱ）

内角
的对边长分别为
，若

且
试求B和C.

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．

（Ⅰ）求证：PC //平面BDE；

（Ⅱ）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．

19.（本小题满分12分）

设数列
的前
项和为
，且

.

（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的前
项和
.

20（本小题满分12分）

“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2. 为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是
(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．

(Ⅰ) 试解释
的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简;

(Ⅱ) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？

21（本小题满分12分）

设函数
的图象在点
处的切线的斜

率为
，且函数
为偶函数.若函数
满足下列条件：①
；

②对一切实数
，不等式
恒成立.

（Ⅰ）求函数
的表达式；

（Ⅱ）求证：

.

22．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的最大值；

（Ⅱ）若函数
与
有相同极值点．

①求实数
的值；

②若对于
（
为自然对数的底数），不等式
恒成立，

求实数
的取值范围．

沈阳二中2015—2016学年度上学期期中考试

高三（16届）数学(文)试题答案

选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

D

B

C

C

A

B

A

B

B

C





填空题：

13.
14.
15. 5 16. [-1,1]

解答题：

17．解：（Ⅰ）∵
…2分

　 ∴故函数
的递增区间为
(
Z) ………………4分 （Ⅱ）
，∴
． ∵
，∴
，∴
，即
． ………6分 　由正弦定理得：
，∴
，

　 ∵
，∴
或
． ………8分

当
时，
；当
时，
．（不合题意，舍）

所以
,
. ………………10分18．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．

因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．…………2分

因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．……………4分

因为PC平面BDE，OE?平面BDE，所以PC //平面BDE．6分

（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE………8分

因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．

因为OE?平面BDE，DE?平面BDE，OE∩DE＝E，

所以PA⊥平面BDE．………………………………10分

因为PA?平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．………12分

19. 解： （Ⅰ）因为
，所以有
成立.

两式相减得：
. …………1分

所以

，即
. …………3分

所以数列
是以
为首项，公比为
的等比数列. ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
，即

.

则

. ……………7分

设数列
的前
项和为
,

则
，

所以
，

所以
，

即

. ……………11分

所以数列
的前
项和
=
，

整理得，

. ……………12分

20．(Ⅰ)
表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元

，
；

x≥0﹒﹒ ……………6分

(Ⅱ)

当
时，

当x为15平方米时，y取得最小值7万元 ……………12分

21.（Ⅰ）解：由已知得：
. …………1分由
为偶函数，有
. …………2分

又
，所以
，即
. …………3分

因为
对一切实数
恒成立，即对一切实数
，不等式
恒成立. 当
时，不符合题意. …………4分

当
时，

，得
.

所以
. ……………6分

（Ⅱ）证明：
，所以
.

因为
,…………10分

所以

所以
成立…………12分

22.解（Ⅰ）
，…………………………1分

由
得
；由
得
.

在
上为增函数，在
上为减函数. ……………………2分

函数
的最大值为
.…………………………………………3分

（Ⅱ）
.①由（1）知，
是函数
的极值点，

又
函数
与
有相同极值点，

是函数
的极值点，

，解得
.……………………………………………4分

经验证，当
时，函数
在
时取到极小值，符合题意. ……5分

②
，

易知
，即
.

………7分

由①知
.当
时，
；

当
时，
.故
在
上为减函数，在
上为增函数.

，而
.

. …………………9分

当
，即
时，对于
，不等式
恒成立

.

，
.

当
，即
时，对于
，不等式
恒成立

.

，

. ………………………………11分

综上，所求实数
的取值范围为
.…………………12分