2015高三数学第四次月考试题（理）

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

1、设集合
，集合
，则
等于（ ）

A、 (1,2) B、 (1,2] C、 [1,2) D、 [1,2]

2、已知
和
，若
，则
（ ）

A、5 B、8 　　　 C、
　　　 D、64

3、等比数列
的各项为正数，且
（ ）

A、12 　 B、10 　　 C、8 　　　 D、2+

4、已知
，
函数
的值恒为正，则
是
的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

5、直线
与抛物线
所围成的封闭图形的面积是（ ）

A、
B、
C、
D、

6、由
的图象向左平移
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到
的图象，则
为（ ）

A、
B、

C、
D、

7、设函数
，则
（ ）

A、
B、
C、
D、

8、下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）

①若p
q为真命题，则p
q为真命题。

②“x>5”是“x
－4x－5>0”的充分不必要条件。

③命题P：
x∈Ｒ，使得x2＋x－1<0，则p:
x∈Ｒ，使得x2＋x－1≥0。

④命题“若x2－3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x
1或x
2，则x
－3x+2
0

A、1 B、2 C、3 D、 4

9、设
在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数
的图象可能是（ ）

10、在
中，若
且
，则角
（ ）

A、
B、
C、
D、

11、 定义在R上的函数
满足
，当
时，
；当
时，
，则
（）

A、335 B、1678 C、336 D、2015

12、设函数
，若不等式
≤0有解．则实数
的最小值为（ ）

A、
B、
C、
D、
:]

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13、设向量a,b不平行若向量
平行，则实数
的值为_________.

14、在△ABC中，已知
，AC＝3，则AB＝　　　　

15、若幂函数
过点
，则满足不等式
的实数
的取值范围是 。

16、规定记号“*”表示一种运算，即
，设函数
，且关于
的方程
恰有4个互不相等的实数根
，则

三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17、（本小题满分12分）

已知
.函数
的图象经过点
．

（1）求实数
的值；

（2）求函数
的最小正周期与单调递增区间．

18、已知函数

（1）求函数
的最大值以及取最大值时
的取值集合；

（2）在
中，角
的对边分别为
且
求
的面积.

19、设数列
的前
项和
，且
成等差数列.

（1）求数列
的通项公式；

（2）记数列
的前n项和
，求得
成立的n的最小值.

20、设数列
满足
，
．

（1）求
的通项公式；

（2）记
，求数列
的前
项和
．

21、已知函数f(x)＝ex＋ax－1(a∈R，且a为常数)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，求a的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22、（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD．

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．

（1）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围．

24、（本小题满分10分）(选修4—5不等式选讲)

已知关于x的不等式

（1）当
时，求此不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为R，求实数
的取值范围．

答案：1－6 BABADB 7－12 DBBACD

13.
14.
15.
16. －4

17.解：（1）因为函数
的图象经过点
，

所以
． 即
． 即
．

解得
． ………………………………4分

（2）由（1）得，

． ………………………………6分

所以函数
的最小正周期为
． ………………………………8分

因为函数
的单调递增区间为

，

所以当

时，函数
单调递增，

即

时，函数
单调递增．

所以函数
的单调递增区间为

．……………12分

18.解：解:(Ⅰ)

. 4分

当
（
，

即
时，
取最大值
. 6分

(Ⅱ)
,可得
，因为
为△
内角，所以
. 8分

由余弦定理
，

由
，解得
. 10分

所以
. 12分

19.

20. （1）

[:]

∴
是以2为公比、2为首项的等比数列，
∴
；

（2）

记

21.解：(1)f′(x)＝ex＋a，

当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，

当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调增函数；

由f′(x)<0，得x

综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞，＋∞)；

a<0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调减区间是(－∞，ln(－a))．

(2)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，

即ex＋ax≥e－x－ax恒成立，即ex－e－x＋2ax≥0恒成立，

令h(x)＝ex－e－x＋2ax，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立，

又h′(x)＝ex＋e－x＋2a，且h′(x)≥2＋2a＝2＋2a，x＝0时等号成立．

①当a≥－1时，h′(x)≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，

故h(x)≥h(0)＝0恒成立．

②当a<－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋)，

当x∈(0，x1)时，h′(x)<0，故h(x)在该区间为减函数，

所以，x∈(0，x1)时，h(x)

综上，a的取值范围是[－1，＋∞)．

22.

（Ⅰ）连接OE，因为D为的中点，E为BC的中点，

所以OED三点共线．………………………… …2分

因为E为BC的中点且O为AC的中点，

所以OE∥AB，故DE∥AB.………………………… …5分

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，又∠BAD＝∠DCB?∠DAC＝∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE?△DAC∽△ECD．………… …8分

?＝?AD·CD＝AC·CE? 2AD·CD＝AC·2CE? 2AD·CD＝AC·BC．……………………………10分

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

解：（1）直线
的普通方程为：
； 2分

曲线
的直角坐标方程为：
5分

（2）设点

，则

所以
的取值范围是
10分

24. 解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即
，解得
，

∴不等式的解集为
． …

（2）∵|ax﹣1|+|ax﹣a|≥|a﹣1|，不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1．

解得a≥2，或a≤0． 又∵a＞0，∴a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．