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西安市第一中学 2015-2016学年度第一学期期中 高三数学(文科)试题
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则?UM等于 ( ) A．U B．{1,3,5} C．{2,4,6} D．{3,5,6} 2．－870°角的终边在第几象限 ( ) A．一 B．二 C．三 D．四 3．命题“，”的否定是 （ ） A．， B．， C．， D． ， 4．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为 ( ) A．e1－3e2 B．－2e1－4e2 C． 3e2－e1 D．3e1－e2 5．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是 ( ) 6．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 ( ) A．64 B．49 C．16 D．15 7．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是 ( ) A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 8．若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是 ( ) A．8 B．7 C．4 D．2 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 10．如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( ) A. B. C. D. 11. 椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围为 （ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若存在，当时，，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若（其中为虚数单位），则是______________． 14．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值是______________． 15．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是___________. 16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值． 18．(本小题满分12分)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底 面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E - ABC的体积． 20．(本小题满分12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 21．（本小题满分12分） 设函数 ． (1) 当时,求函数的单调区间； (2) 当时,求函数在上的最小值和最大值． 请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.(选修4—1几何证明选讲) （本小题满分10分） 如图，过圆外一点P的直线交圆O于A、B两点,PE是圆的切线，CP平分∠， 分别与AE、BE交于点. 求证：(1) ； （2） 23.(选修4─4坐标系与参数方程选讲) （本小题满分10分） 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为 参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围． 24.(选修4—5不等式选讲)（本小题满分10分）设函数 （1）求不等式的解集； （2）若的定义域为R,求实数的取值范围. 西安市第一中学 2015-2016学年度第一学期期中 高三数学(文科)答案 一、选择题： DCBAAD CBACBB 二、填空题 13. 14. 8 15. 16. (0,1) 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上) 17． 函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)在区间[－，－]上的最大值和最小值． [解] (1)f(x)的最小正周期为π. x0＝，y0＝3. ---------------------------------------------------------6 (2)因为x∈[－，－]，所以2x＋∈[－，0]． 于是，当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0； 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.-----------------------12 18．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. [解] (1)设{an}的公比为q，依题意得 解得 因此，an＝3n－1. ------------------------------------------------------------------6 (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.---------------------------12 19． 如图， 在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E - ABC的体积． (1)[证明] 在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1.--------------------------------------------------------------------4 (2)[证明] 取AB的中点G，连接EG，FG. 因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点， 所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1. 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG. 又因为EG平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. -----------------------------------------------------------------8 (3)解：因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝. 所以三棱锥E - ABC的体积 V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.----------------------------------------------12 20．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． [解] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)． ∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.----------------------------------------------------------------------6 (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则 kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，① y＝4x2，② ∴＝，∴y1＋2＝－(y2＋2)． ∴y1＋y2＝－4. 由①－②得，y－y＝4(x1－x2)， ∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．--------------------------------------------------12 21．（本小题满分14分） 设函数 ． (1) 当时,求函数的单调区间； (2) 当时,求函数在上的最小值和最大值． 【解析】： (1)当时 ,在上单调递增.---------------------------------------------------------6 （2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过 （i）当，即时，，在上单调递增， 从而当时， 取得最小值 , 当时， 取得最大值. （ii）当，即时，令 解得：,注意到, (注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)
的最小值, 的最大值 综上所述，当时，的最小值,最大值------------12 解法2（2）当时，对，都有，故 故，而 ， 所以 ，
做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． A.选修4－1：几何证明选讲 如图所示，为圆的直径，，为 圆的切线，，为切点. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若圆的半径为2，求的值. 解：(I)连接是圆的两条切线， ， ,又为圆的直径，， ,,即得证， (II),,△∽△， 。 B.选修4－4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）. （Ⅰ）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程； （Ⅱ）已知，圆上任意一点，求△面积的最大值. 解：（I）圆的参数方程为（为参数） 所以普通方程为 圆的极坐标方程： （II）点到直线：的距离为 △的面积 所以△面积的最大值为 C．选修4-5：不等式选讲 已知函数 （I）若，解不等式； （II）如果，求的取值范围． 解：（Ⅰ）当时， 由得 当时，不等式可化为即，其解集为 当时，不等式化为，不可能成立，其解集为； 当时，不等式化为，其解集为 综上所述，的解集为 （Ⅱ），∴要成立， 则，， 即的取值范围是。 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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