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2015—2016学年度上学期期中考试 高三数学（理科）试题 命题人：才忠勇 校对人：陈丽君 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求的.） 1.设为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2.函数的定义域为（ ）
3.下列结论错误的是（ ） 命题“若，则”的逆否命题是“若，则” 命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题 “”是“”的充分条件 命题“若，则且”的否命题是“若，则或” 4.若实数，满足，则目标函数的最大值为（ ）
5.在等差数列中，若，则的值为（ ）
6.已知，是夹角为的两个单位向量，若，，则与的夹角为（ ）
7.对于直线，和平面，，的一个充分条件是（ ） ，， ，， ，， ，， 8.若函数满足，，且的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）
9.设是内一点，且，.定义，其中分别是的面积.若，则的最小值是
10.已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
11.已知四棱锥的五个顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面垂直于平面，在中，，，，则球的外接球的表面积等于
12.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，，且，则下列结论成立的是（ ）
二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分.） 13.若, ，成等差数列，则的值等于________. 14.的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为，参照上述方法，可求得的所有正约数之和为 . 15.某几何体的三视图如右图,则此几何体的体积为 . 16.已知，（其中为自然对数的底数），方程 有四个实数根，则实数的取 值范围为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 已知向量，，函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角，，,且，求，和的面积． 18．（本小题满分12分） 已知如图几何体，正方形和矩形所在平面互相垂直， ，为的中点，，垂足为. （Ⅰ）求证: 平面； （Ⅱ）求二面角的大小. 19．（本小题满分12分） 已知首项都是的数列，满足. （Ⅰ）令，求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列为各项均为正数的等比数列，且，求数列的前项和. 20.（本小题满分12分） 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛 相距都为，与小岛相距为.小岛对小岛与的视角为钝角，且. （Ⅰ）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积； （Ⅱ）记小岛对小岛与的视角为，小岛对小岛与的视角为，求的值. 21.（本小题满分12分） 数列，的每一项都是正数，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）求数列， 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数，有. 22. （本小题满分12分） 已知函数（其中是实数）. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若设，且有两个极值点，（），求的取值范围.（其中为自然对数的底数，）. 20152016学年度上学期期中考试 高三理科数学参考答案 一、选择题 1～6：CDBACC 7～12：CADABD 二、填空题 13． 14. 15. 16. 三、解答题 17.解:（Ⅰ） ，…………………………………………………2分 .………………4分 因为，所以.…………………………………………………………5分 （Ⅱ）， 因为，，所以，. ……………7分 则，所以，即，则……9分 从而.………………………………………10分 18．（Ⅰ）证明：连结交于，连结. 因为为中点， 为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面.……………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为正方形和矩形所在平面互相垂直，所以平面. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，， 设平面的法向量为， ，.…………………………6分 设平面的法向量为， ， | ||||||||||||||||||||||||||||||
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