2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试

高三年级数学试卷（文）

答题时间:120分钟 满分:150分 命题人:李砚秋 校对人：

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

（1）已知全集U＝R，集合A＝{x | 1＜x≤3}，B＝{x | x＞2}，则A∩CUB 等于

A. {x | 1≤x≤2} B.{ x | 1≤x＜2} C.{x | 1＜x≤2} D.{x | 1≤x≤3}

（2）命题“若α=
，则tanα=1”的逆否命题是

A.若α≠
，则tanα≠1 B.若α=
，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠
D.若tanα≠1，则α=

（3）已知函数
（其中
）的图象如右图所示，则函数
的图象是下图中的

A B C D

（4）如图，在
中，点
是
的中点，过点
的直线交直线
、
于不同的两点
、
，若
，
，则

A．1 B．2 C．
D．3

（5）若函数
的导函数
，则使得函数
单调递减的一个充分不必要条件是

A．
B．
C．
D．

（6）在
，内角
所对的边长分别为

A.
B.
C．
D.

（7）已知
为等比数列，
是它的前
项和。若
， 且
与2
的等差中项为
，则
=

A.29 B.31 C．33 D.35

（8）设抛物线
的焦点为F，经过点P（2，1）的直线
与抛物线相交于
两点，点P恰为
的中点，则|
|+|
|=

A.8 B.10 C.14 D.16

（9）已知非零向量
满足
，若函数
在R 上存在极值，则
和
夹角的取值范围为

A.
B.
C.
D.

（10）若定义在
上的函数
满足：对于任意
有
，且
时，有
，设
在
上的最大值，最小值分别为
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

（11）设
是双曲线
的焦点，P是双曲线上的一点，且3|
|=4|
|，△
的面积等于

A.
B.
C．24 D.48

（12）定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立，则

A.
B.

C．
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）设
，则
；

（14）已知定义在
上的偶函数
满足
对于
恒成立，且
，则
________；

（15）不等式组
表示的平面区域为
，若对数函数
上存在区域
上的点，则实数
的取值范围是_________；

（16）已知函数
且
，在各项为正的数列
中，
的前n项和为
，若
= ．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题10分）设向量

（I）若
，求
的值；

（II）设函数
，求
的最大值。

（18）（本小题12分）将函数
在区间
内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）令
，其中
，求数列
的前
项和
．

（19）（本小题12分）设
是函数
的两个极值点。

?（1）若
，求函数
的解析式；

?（2）若
，求
的最大值.

（20）（本小题12分）某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①
②
③
.其中
均为常数且
.（注:
表示上市时间，
表示价格，记
表示4月1号，
表示5月1号，…，以此类推，

(Ⅰ)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选

择，并简要说明理由；

(Ⅱ)对（I）中所选的函数
，若
，记
，经过多年的统计发现，当函数
取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？

（21）（本小题12分）已知A为椭圆
上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有
.

（Ⅰ）求椭圆离心率；

（Ⅱ）设
,试判断
是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.

（22）（本小题12分）已知函数：

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若对于任意的
，若函数
在区间
上

有最值，求实数
的取值范围.

2015—2016学年度上学期高中学段高三联合考试

高三年级数学试卷（文）答案

答题时间： 120分钟 满分：150分 命题人：李砚秋 校对人：

一．选择题：CCABC DBABD CD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） -2 （14） 1 （15）
（16）6

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题10分）

解：（I）由
，

，及

又
，所以
……4分

（II）

=
.……8分

当

所以
…10分

（18）（本小题12分）

解：（I）
，

其极值点为
， ………2分

它在区间
内的全部极值点构成以
为首项，
为公差的等差数列，

∴
； ………6分

（II）∵

∴
，∴
， ………8分

，

∴当
时，相减，

得
， ……10分

∴
，

综上，数列
的前
项和
． ………12分

（19）（本小题12分）

解：（1）
∵
是函数
的两个极值点，

∴
，
。∴
，
，

解得
。∴
……4分

（2）∵
是函数
的两个极值点，∴
。

∴
是方程
的两根。

∵
，∴
对一切
恒成立。
，
……6分，

∵
，∴
。

∴
。由
得
，∴
……8分

∵
，∴
，∴
。 令
，则
。

当
时，
，∴
在（0，4）内是增函数；

当
时，
，∴
在（4，6）内是减函数。……10分

∴当
时，
有极大值为96，∴
在
上的最大值是96，

∴
的最大值是
。 ……12分

（20）（本小题12分）

解：(Ⅰ)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择②
……………4分

(Ⅱ)由
解得
…………………6分

…………8分

……………10分

当且仅当
即
时等号成立.

明年拓展外销的时间应为6月1日…………………12分

（21）（本小题12分）

解：（Ⅰ）当AC垂直于x轴时，
，
，∴

∴
，∴
，∴
，故
. -------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为
，焦点坐标为
.

当弦AC、AB的斜率都存在时，设
，则AC所在的直线方程为
，

代入椭圆方程得
.

∴
， ---------------------------5分

，
. ----------------------------7分

同理
，∴
---------------------------9分

②当AC垂直于x轴时，则
，这时
；

当AB垂直于x轴时，则
，这时
.

综上可知
是定值 6. --------------------------12分

（22）（本小题12分）

解：（Ⅰ）由已知得
的定义域为
，

且
， …………2分

当
时，
的单调增区间为
，减区间为
；

当
时，
的单调增区间为
，无减区间； ……6分

（Ⅱ）

在区间
上有最值，

在区间
上总不是单调函数，

又
…………………………9

由题意知：对任意
恒成立，

因为

对任意
，
恒成立

∴
∵
∴

………………………………12分