福州八中2015—2016学年高三毕业班第三次质量检查

数学(理)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.11.9

注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

第I卷 共60分

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知
为

A．(1,1) B．(0,1) C．(0,a) D．

2.若复数Z
，
是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为

A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，
）

3. 要得到
的图象，只需将
的图象

A.向左移
个单位 B.向左平移
个单位

C.右平移
个单位 D.向左平移
个单位

4.在
中，
，
．若点
满足
，则

A．
B．
C．
D．

5.设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有

A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真

6.已知函数
的零点依次为
，则

A．
B．
C．
D．

7.若
是偶函数，则p是q的

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

8.已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan等于

A．3 B. C．－3 D．－

9.如图所示，点
是函数

的图象的最高点，
，
是该图象与
轴的交点，若
，则
的值为

A.
B.
[:]

C.
D.

10.已知以原点
为圆心的单位圆上有一质点
，它从初始位置
开始，按逆时针方向以角速度

做圆周运动.则点
的纵坐标
关于时间
的函数关系为

A．
B．

C．
D．

11.已知定义在
上的偶函数
满足
，且对于任意的
，
恒成立，则不等式
的解集为

A．
B．

C．
D．

12.已知函数
是定义在
上的奇函数，且满足
，则
的值为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

第Ⅱ卷 共90分

二、填空题：本大题有4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答卷的相应位置.

13.已知a∈[0，]，则当(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.[:学高考

14.已知
，若对任意的
，都存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是

15.已知平面向量
、
、
满足
，
，
，
，则
的最大值是 .

16.定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称
为“等比函数”。现有定义在
上的如下函数：①
；②
；③
；④
，则其中是“等比函数”的
的序号为 　 ．

三、解答题：本大题有6题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．

（Ⅰ）求数列S1，S2，S4的公比；

（Ⅱ）若S2＝4，求{an}的通项公式．

18. (本小题满分12分)　

已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，

若a2＝b2＋c2+bc，且a＝2．

（Ⅰ）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值；

（Ⅱ）求b＋c的取值范围．

19.（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）若
，使
,求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
,且
在
上单调递增,求实数
的取值范围.

20．（本小题满分12分）

已知

（I）当
时，求
在
上的最值；

（II）若函数
在区间
上不单调.求实数
的取值范围.

21.（本小题满分13分）

已知数列
的前
项和为
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
＝
，记数列
的前
项和
.若对
，

恒成立，求实数
的取值范围．

22. （本小题满分13分）

已知
，函数
，
（其中
为自然对数的底数）．

（Ⅰ）判断函数
在区间
上的单调性；

（Ⅱ）是否存在实数
，使曲线
在点
处的切线与
轴垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

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数学(理)试卷参考答案及评分标准

1-12 BCBAB AACBA DA 13.  14．
15.
16. ③④

17解：(1)设数列{an}的公差为d，由题意得S＝S1·S4，所以(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．

因为d≠0，所以d＝2a1. 故公比q＝＝4.

(2)因为S2＝4，d＝2a1，S2＝2a1＋2a1＝4a1＝4，所以a1＝1，d＝2.

因此an＝a1＋(n－1)d＝2n－1

18.解析：（1）∵a2＝b2＋c2+bc，∴
，即cosA＝－，

又∵A∈(0，π)，∴A＝. 又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，

由余弦定理得：12=a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，

∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4. ………………………6分来源学高考

（2）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝?－A＝，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，

∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，

即b＋c的取值范围是?2，4?.………………………12分

19．解：（1）由
,
，得
,使
，………2分

所以
解得:
或
………4分

所以实数
的取值范围是
………5分

（2）由题设得
………7分

要使
在
上单调递增,只要

或
……… 10分

解得:
或
所以实数
的取值范围是

20解. （I）当
时，
，∴

令
，得
。

0

















0









0

增



减





所以
，
…………6分

（II）
，
，

∴

则

∵
，∴

当
时，
在
上恒成立，即
在区间
上递减，不合题意，

当
时，
在
上恒成立，即
在区间
上递增，不合题意，

故函数
在区间
上不单调，则
，

综上所述，实数
的取值范围为
．

21解析 ：解：（1）当
时，
，当
时，

即：
，
数列
为以2为公比的等比数列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝
＝
＝
－
，

Tn＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.

∵
≤k(n＋4)，

∴k≥
＝
.

∵n＋
＋5≥2
＋5＝9，当且仅当n＝
，即n＝2时等号成立，

∴
≤
，因此k≥
，故实数k的取值范围为

22.解（1）：∵
，∴
．

令
，得
．

①若
，则
，
在区间
上单调递增.:.]

②若
，当
时，
，函数
在区间
上单调递减，

当
时，
，函数
在区间
上单调递增，

③若
，则
，函数
在区间
上单调递减. ……6分

（2）解：

∵
，
，

由（1）可知，当
时，
．

此时
在区间
上的最小值为
，即
．

当
，
，
，∴
．

曲线
在点
处的切线与
轴垂直等价于方程
有实数解．

而
，即方程
无实数解．

故不存在
，使曲线
在

处的切线与
轴垂直……12分