福建师大附中2015-2016学年第一学期高三半期考试卷

高三数学 (理科)

（满分：150分，时间：120分钟）

说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．已知集合
，则集合
中的元素个数为( )

A． 2 B. 3 C．4 D. 5

2．已知
（
为虚数单位），则复数
=（ ）

A.
B.
C.
D.

3.已知命题

,
；命题

,
,则下列命题中为真命题的是：（ ）

A．
B.
C．
D.

4．已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针旋转
至
，则点
的纵坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)

A． －1 B． － C.  D． 1

6. 已知
为等比数列,
,
,则
（ ）

A．
B.
C．
D.

7.若
,
是第三象限的角,则
( )

A．
B.
C． 2 D. -2

8.若
,则
的值为（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

9．存在函数
满足：对任意
都有（ ）

A.
B.

C.
D.

10．设函数
,则使得
成立的
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

11.设
为两个非零向量
、
的夹角，已知对任意实数
，
的最小值为1,（ ）

A.若
确定，则
唯一确定 B.若
确定，则
唯一确定

C.若
确定，则
唯一确定 D.若
确定，则
唯一确定

12．设函数
=
,其中a
1，若存在唯一的整数
，使得

0，则
的取值范围是（ ）

A．[-
，1） B. [-
，
） C．[
，
） D. [
，1）

二、填空题：（每小题5分，共30分）

13.
，则
．

4.若非零向量
满足
,则
夹角的余弦值为_______.

15.函数
的图象向右平移
个单位后,与函数
的图象重合,则
。

16.如图在平行四边形
中，已知
，
，则
的值是 .

17.如图,测量河对岸的塔高
时,可以选与塔底
在同一水平面内的两个测点
与
．现测得
,并在点
测得塔顶
的仰角为
,则塔高
为_______.

第16题图 第17题图

18.函数
的图像与函数

的图像所有交点的横坐标之和等于 .

三、解答题：（本大题共5题，共60分）

19．（本小题满分11分）

已知数列
的前
项和
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)证明：对任意
，都有
，使得
成等比数列.

20．（本小题12分）

已知向量
，
，函数

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）在
中，内角
的对边分别为
，且
，

若对任意满足条件的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围

21．（本题满分12分）

中，
是
上的点，
平分
，
面积是
面积的2倍．

（Ⅰ） 求
；

（Ⅱ）若
，
，求
和
的长．

22．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）证明：当
时，
.

23．（本小题满分13分）

设函数
，
.已知曲线
在点
处的切线与直线
平行.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）是否存在自然数
，使得方程
在
内存在唯一的根？如果存在，求出
；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数
（
表示，
中的较小值），求
的最大值.

福建师大附中2015-2016学年第一学期高三数学（理）半期考试卷

参考答案

一、选择题： AD B C B D A C D A B D

二、填空题： 13.
14.
15.
16. 44

17.
18. －4

19.（本小题满分11分）

解:（1）因为
所以当
时
又
时，
所以

（2）要使得
成等比数列，只需要
，即
.而此时
，且
所以对任意
，都有
，使得
成等比数列.

20.

21．【解析】（Ⅰ）
，
，因为
，
，所以
．由正弦定理可得
．

（Ⅱ）因为
，所以
．在
和
中，由余弦定理得

，
．

．由（Ⅰ）知
，所以
．

22.【解析】（Ⅰ）
，
．

由
得
解得
．

故
的单调递增区间是
．

（Ⅱ）令
，
．

则有
．

当
时，
，

所以
在
上单调递减，

故当
时，
，即当
时，
．

23.解:（Ⅰ）由题意知，曲线
在点
处的切线斜率为
，所以
，

又
所以
.

（Ⅱ）
时，方程
在
内存在唯一的根.

设

当
时，
.

又

所以存在
，使
.

因为
所以当
时，
，当
时，
，

所以当
时，
单调递增.

所以
时，方程
在
内存在唯一的根.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程
在
内存在唯一的根
，且
时，
，
时，
，所以
.

当
时，若
[:]

若
由
可知
故

当
时，由
可得
时，
单调递增；
时，
单调递减；

可知
且
.

综上可得：函数
的最大值为
.