福州八中2015—2016学年高三毕业班第三次质量检查

数学(文)试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2015.11.9

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式 球的表面积、体积公式

，

其中S为底面面积，h为高 其中
为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合设集合

A.
B.
C.
D.

2．已知角α的终边经过点(3，-4)，则

A. B. C．－ D．－

3．设
为虚数单位，则复数
=

A．
B．
C．
D．

4．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝

A．2 B．－2 C. D．－

5．奇函数
的定义域为R.若
为偶函数，且
，则

A．－2 B．－1 C．0 D．1

6．平面向量
的夹角为
等于

A.
B.
C.12 D.

7．已知函数
,则下列说法正确的为

A．函数
的最小正周期为2π

B．
的最大值为

C．
的图象关于直线
对称

D．将
的图象向右平移
,再向下平移
个单位长度后会得到一个奇函数的图象

8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．12 B．18

C．24 D．30

9．设
、
都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

成立的是

　 A．
B．
C．
D．

10．下列命题正确的是：

（1）已知命题

（2）设
表示不同的直线，
表示平面，若
；

（3）将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像关于点对称

（4）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件

A.（1）（4） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（3）（4）

11．设函数
则使得
成立的
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
，若函数
的零点都在
内，则
的最小值是

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分

13．若命题“?x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是__________．

14．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是____．

15．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则
的值是________．

16．已知函数
.若存在
，
，，
满足
，且

，则
的最小值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知命题
，
，若
是
的充分不必要条件，求
的取值范围。

18．（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
，等比数列
满足
，
．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

19．(本题满分12分)

已知角
、
、
是
的内角，
分别是其对边长，向量
，
，
。

（1）求角
的大小；

（2）若
求
的长。

20.（本小题满分12分）

如图所示，已知在四棱锥
中,
//
,
,
，

且

（1）求证：
平面
；

（2）试在线段
上找一点
，使

∥平面
,并说明理由；

（3）若点
是由（2）中确定的，且
，求四面体
的体积。

21.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数
的单调区间，并判断是否有极值；

（Ⅱ）若对任意的
，恒有
成立，求k的取值范围；

（Ⅲ）证明：

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4-1；几何证明选讲

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径。

（Ⅰ）求证：AC·BC=AD·AE

（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长。

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，
轴的非负半轴极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，求
与
交点的极坐标，其中

24. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲

已知函数
．

（I）证明：
；

（II）求不等式：
的解集．

福州八中2015—2016学年高三毕业班第三次质量检查

数学(文)试卷参考答案及评分标准

一、选择题

DDADD BDCAD BA

二、填空题

（13）2≤m≤6_ （14）(e，e)_ （15）8 （16）6

解答题

17、解析:
记A={x|x>10或x<-2},---------2分

q:
解得
或
1-a,记B={x|
1+a或
}. -----4分

而
p


---------------------------------------------------6分

∴A
B,-----------------------8分

即
--------------11分

∴
.------------------12分

18、（Ⅰ）an=2n-1,---------------2分

b1=1, b4=8, ∴q=2 ----------5分

∴bn=2n-1---------------------6分

（Ⅱ）Cn=(2n-1)2n-1,------7分

-
-------8分

上述两式作差得

-----------------9分

---------------------------------------11分

.------------------------------------------------------------12分

19、解:（1）

0

　　　　　……………………………………3分

　　………………………………………………5分

∵
…………………………7分

．　　　……………………………………………………8分

（2）在
中，
，
，

………………………………10分

由正弦定理知：
…………………………………………11分

=
．


…………………………12分

20、【解析】（1）连接
，过
作
,垂足为
，又已知在四边形
中，
,
∥
,
，四边形
是正方形． 1分

∴

．

又 ∵
，∴
．

∴
．∴ ∠
．∴
． 2分

又∵
，
，

∴
平面
． 4分

（2）当
为
中点时，
平面
． 5分

证明：取
中点为
，连接
．

则
∥
，且
∵
∥
,
，∴
∥
，
．

∴ 四边形
为平行四边形，∴
∥
．

∵

平面
,

平面
，∴
∥平面
. 8分

由（1）知，
平面
，
为
中点，所以点
到平面
的距离等于
,
． 9分，

在三角形
中，
所以在三角形
中，
----10分，

在
中
是
,

--------12分

解答： （Ⅰ）解：
，（x＞0），
，----------------1分

即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，

∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，--------------3分

在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=1，无极小值．---------------------------------4分

（Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，
，

则k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，---------6分

由（1）知f（x）max=f（1）=1，

则有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．----------------------8分

方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，

，

当k≤0时，g'（x）≥0；

当k＞0时，由g'（x）＞0得
，

即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数；

当k＞0时，
上为增函数；在
上为减函数．

∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，

即要求g（x）≤0恒成立，

∴k＞0符合，且
，得k≥1．

（Ⅲ）证明：
，由（Ⅰ）知
，

则
（当且仅当x=1取等号）．-----------9分

令x=n2（n∈N*，n≥2），即
，则有---------10分

∴
---------12分

22、【解析】（Ⅰ）连接
，则
为直角三角形………………………………1分

所以
．又
………………………………2分

所以
，所以
…………………………3分

即
，又
…………………………4分

故
…………………………………………5分

（Ⅱ）因为
是
的切线，所以
………6分

又
，
，从而解得
，
…………………………7分

因为
，
，所以
………………………8分

所以
……………………………………………………………………9分

即
……………………………………………………………10分

23、【解析】解法一：将
消去参数
，得
，

所以
的普通方程为：
． …………………4分

将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程得：
．……………6分

由
解得
或
…………8分

所以
与
交点的极坐标分别为
或
． …………………10分

解法二：将
消去参数
，得
，

所以
的普通方程为：
． …………………4分

所以
的极坐标方程为
． ………………6分

代入
，得
， ……………………8分

所以
与
交点的极坐标分别为
或
． …………………10分

24、【解析】（I）
--------2分

∴
---------------------------------------------------------------3分

（II）①当
时，
，而

∴
无解------------------------------------------------5分

②当
时，
，原不等式等价于：

-----------------------------------7分

③当
时，
，原不等式等价于：

---9分

综上，不等式的解集为
．----------------------------------10分