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福安高级中学、霞浦七中、周宁十中2015--2016学年第一学高三期中考试 数学理科试卷 （总分150分，考试时间120分钟，） 一、选择题（共60分. 本大题共12个小题，每个小题都有四个选项，其中只有一个选项正确，请将正确选项的题号填在答题卡的相应位置上，答对一个小题得5分） 若复数满足，则等于（ ） A． B． C． D． 2. 已知集合，集合，则=( ) A． B． C． D． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A． B． C．的充要条件是 D．是的充分条件 4. 若集合A=｛-1， 1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中的元素的个数为（ ） A．5 B.4 C.3 D.2 5. 已知函数是定义在R上的单调递减函数，则函数的图象大致是 （ ） 6. 在△ABC中，已知=2，且=+λ，则λ= ( ) A. B. C. D. 7. 已知，则 ( ) A． B． C． D． 8．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ） A．（1，2） B． C． D． 9. 若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于 ( ) A. B. C. D. 10. 在中，分别是角的对边，，且，则的值为( ) A． B． C． D．7 11. 函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为 A． B． C． D． 12.设函数（）的极小值点的个数为（ ） A．1007 B. 1008 C．2015 D．2016 二、填空题：(本大题5个小题，每小题4分，共20分). 13. 计算定积分___________ 14. 的值等于 。 15．函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 。 16. 设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，f(2-x)=f(x+2)，且当x∈[-2，0]时， .若关于x的方程 (a>1)在区间(-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是 . 福安高级中学、霞浦七中、周宁十中 2015—2016学年第一学期半期考高三数学理科答卷 一、选择题（60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 14、 15、 16、 三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.） 17．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为：（t为参数），以为原点，轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：. （Ⅰ）写出直线和曲线C的普通方程。 （Ⅱ）若直线和曲线C相切，求实数的值。 18．（本题满分12分）将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线，再把曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （Ⅰ）写出函数的解析式，并求的周期； （Ⅱ）若函数，求在上的单调递增区间． 19．（本题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，， ，。 （Ⅰ）求及的值； （Ⅱ）若，求的面积. 20．（本题满分12分）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14n mile的速度沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值. 21.（本小题满分12分）某集团公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t（百万元），可增加销售额约为－t2+5t（百万元）（0≤t≤5）． （1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大? （2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为－x3+x2+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大?（注：收益=销售额－投入） 22.（本题满分12分）已知函数， （Ⅰ）若，求的单调区间； （Ⅱ）对，都有，求实数的取值范围； 高三数学（理）参考答案与评分标准 一、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D C D A B D C A D B 二、 13、 14、 15、 16、 17、解：（1）直线l的方程是 …………2分 曲线C的方程是 …………4分 （2）由 …………5分 得 …………7分 …………8分 k=1…………9分 所以，当k=1时，直线和曲线C相切 ………10分 18、解：（1）： ………2分 ………4分 ………6分 （2） ………7分 ………9分 在上的单调递增区间是[0，]和[，] ………12分 19、解：（1）= ………3分 ∴ ………5分 ………8分 （2）由 得 ………10分 ………12分 20、如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，………1分 则AC=14x，BC=10x， ………3分 ∠ABC=120°. ………4分 根据余弦定理得(14x)2 =122+(10x)2-240xcos120°………6分 解得x=2.故AC=28，BC=20. ………8分 根据正弦定理得 ………9分 解得 ………11分 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为 ………12分 21、解（1）设投入t（百万元）的广告费后增加的利益为f（t）（百万元），则有f（t）=（－t2+5t）－t=－t2+4t=－（t－2）2+4（0＜t≤3）， ∴当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元，即投入2百万元广告费时，该公司由此获得的收益最大． ………6分 （2）设用于技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3－x）（百万元）（0≤x≤3），又设由此而增加的收益是g（x）（百万元），则有 g（x）=（－x3+x2+3x）+［-(3x)2+5(3-x)］－3=－x3+4x+3（0≤x≤3）， ∴g′（x）=－x2+4．令g′（x）=0，解得x=－2（舍去）或x=2． 又当0≤x＜2时，g′（x）＞0；当2＜x≤3时，g′（x）＜0，故g（x）在上是增函数，在上是减函数 ∴当x=2时，g（x）取得最大值． ………12分 答：用于技术改造资金为2百万元，广告1百万元时，公司获得的收益最大． 22、解：（1） ………1分 令 ………2分 x + - + ………4分 ∴ 的单调递增区间为和，递减区间为 ………6分 （2） 若 则 ∴ 在上单调递减，的最大值为-2 ………8分 要使成立 即恒成立 ………9分 即恒成立 令 求得它在的最大值为 ∴ ………12分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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