台州中学2015学第一学期期中试题

高三 数学（理科）

命题：王哲宝 审题：陈守湖

参考公式：

球的表面积公式
棱柱的体积公式

球的体积公式
其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

其中
表示球的半径 棱台的体积公式

棱锥的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高
表示棱台的高

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
,
，若
，则实数a的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

2.若
，且
，则以下不等式中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．函数
的大致图象是 （ ）

4.公比为
等比数列
的各项都是正数,且
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

5.已知
，则
的值是( )

A．
B．
C．
D．

6. “a≤0”是“函数
在区间
内单调递增”的（ ）

A．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7.设
是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

8．已知函数



则函数
的所有零点之和是（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：(本大题共7小题，9—12题每空格3分，13—15题每小题4分，共36分)

9. 已知
，则
，
；

10. 若函数

的值域为[0，+∞），则
的最小值为 ，

若不等式
的解集为
，则
= ；

11．已知平面上三点A，B，C，＝(2－k，3)，＝(2，4)．

(1)若三点A，B，C不能构成三角形，则实数k的值是 ，

(2)若△ABC为直角三角形，且
，则k的值是 ;

12．若实数
满足约束条件
，则
的最大值为 ，点
所在的区域的面积为 ；

13. 在扇形OAB中，∠AOB=120°，P是
上的一个动点，若
=x
+y
，则
+
的最小值是 ;[

14.已知
为偶函数，且
在
单调递增，若

在
上恒成立，则实数
的取值范围是 ;

15. 已知函数
，若关于
的方程
有
个不同的实数根，且所有实数根之和为
，则实数
的取值范围为__ _．

三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

16. （本题满分14分）

已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．

（1）求f (x)的解析式；

（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．

17. （本题满分15分）

已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，

（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；

（2）若PA=
，PC与侧面APB所成角的余弦值为
，

PB与底面ABC成60°角，求二面角B﹣PC﹣A的大小．

18. （本题满分15分）

设
为函数
两个不同零点.

（1）若
，且对任意
,都有
，求
；

（2）若
，则关于
的方程
是否存在负实根?若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；

19．（本题满分15分）

已知椭圆
：
的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．

（1）求椭圆
的方程；

（2）过点
的直线
与椭圆
相交于
，
两点．点
，记直线
，
的斜率分别为
，当
最大时，求直线
的方程．

20. （本题满分15分）

已知数列
的前n项和
满足
，且
．

（1）求数列
的通项公式、数列
的前
项和
；

（2）证明：
．

台州中学2015学第一学期期中答案

高三 数学（理科）

一、ADBBCDCB

二、9 、
,
10、3 , 12 11、
,
12、
， 1

13、2 14、
15、

三、16.【解析】（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ) ∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝ ∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分

（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,)

∴sinA＝，sinB＝ ………8分∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分

17.【解析】（1）证明：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，

∴BC⊥面PAB而BC?面PBC中，∴面PAB⊥面PBC．…（7分）

（2）解法一：过A作AE⊥PB于E，过E作EF⊥PC于F，连接AF，如图所示

则∠EFA为B﹣PC﹣A的二面角的平面角 ……..(8分)

由PA=
，在Rt△PBC中，cos∠COB=

．

Rt△PAB中，∠PBA=60°．∴AB=
，PB=2
，PC=3∴AE=
=

同理：AF=
∴sin∠EFA=
，∴∠EFA=60．…（14分）

∴二面角B﹣PC﹣A的大小为
．…….(15分)

解法二：向量法：由题可知：AB=
，BC=1，

建立如图所示的空间直角坐标系…（8分）

B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，
，0），P（0，
，
），

假设平面BPC的法向量为
=（x1，y1，z1），

∴

取z1=
可得平面BPC的法向量为
=（0，﹣3
，
）

同理PCA的法向量为
=（2，﹣
，0）

∴cos＜
，
＞=
=
，∴＜
，
＞=60°．…（14分）

∴二面角B﹣PC﹣A的大小为
．…….(15分)

18.【解析】（1）由
得函数
关于
对称，则

又
解得

,………（7分）

（2）由
知只需考虑
时的情况 当
时
可化为

所以关于
的方程
存在唯一负实根

令

在
上单调递增

则
………（15分）

19.【解析】（1）由已知得
．

又
，所以椭圆
的方程为
．………（5分）

（2）①当直线
的斜率为0时，则

；………（6分）

②当直线
的斜率不为0时，设
，
，直线
的方程为
，

将
代入
，整理得
．……（7分）

则
，
．

又
，
，

所以，

．

令
，则

所以当且仅当
，即
时，取等号．

由①②得，直线
的方程为
． ………（15分）

20. 【解析】（1）由
①得
②

②-①：有
…………………………2分

即
， …………………………4分

又
，由②有
知
………………5分

∴数列
是以6为首项，公比为3的等比数列，∴
…6分

又由（1）得：
， ……………………………7分

得
， …8分

（2）证法一：由（2）得：由
…………9分

∵
………………………11分

∴
………12分

……15分

证法二：

………………………12分

………………………15分

证法三：当
时，不等式显然成立，

当
时，令

…11分

……………………………12分

.…………15分

综上得命题得证.