台州中学2015学年第一学期期中试题

高三 数学（文科）

命题：陈守湖 审题：王哲宝

参考公式：

球的表面积公式
棱柱的体积公式

球的体积公式
其中
表示棱柱的底面积，
表示棱柱的高

其中
表示球的半径 棱台的体积公式

棱锥的体积公式
其中
分别表示棱台的上底、下底面积，

其中
表示棱锥的底面积，
表示棱锥的高
表示棱台的高

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则集合
（ ）

A．
B．
C．
D．

2.若
，且
，则以下不等式中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. A为三角形ABC的一个内角，若
，则这个三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

4. 函数
，则 “f (1)＝1”是“函数
为奇函数”的 条件．（ ）

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既非充分又非必要

5．已知函数
的图象与
轴的两个相邻交点的距离等于
，若将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，则
是减函数的区间为 ( )

A．
B．
C．
D．

6．设向量
，
满足
，
与
的夹角为
，则
的取值范围是（　　）

　 A．
B．
C．
D．

7. 函数
的大致图象如图所示，则
的取值范围是（　　）

A．
B．

C．
D．

8．定义在
上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列
，
，仍是等比数列，则称
为“等比函数”．现有定义在
上的如下函数：

①
②
③
④
则其中是“等比函数”的
的序号为　　．

A. ①②③④ B．①④ C. ①②④ D. ②③

非选择题部分（共110分）

二、填空题(本大题共7小题，9—12题：每空格3分，13—15题：每小题4分，共36分)

9. 已知
，则
的值是 ．

10．已知首项为1，公差不为0的等差数列
的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比
__ ；等差数列
的通项公式
；设数列
的前
项和为
，则
= __ ．

11. 设二次函数
的值域为[0，+∞），则
的最小值为 ；若ax2﹣4x+c<0的解集为 (-1,2),则
= ．

12. 已知函数
，则
的递增区间为________， 函数
的零点个数为_______个．

13．已知集合
，若存在
，使不等式
成立，则实数m最小值是　 　．

14. 已知
，
，点
是线段
上的一点，且
，则
的取值范围是 ．

15. 已知函数
设
，
若函数
有三个零点，则
的值为 ．

三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分15分）设
的内角
所对应的边分别为
,已知
．

（Ⅰ）求角
；

（Ⅱ）若
,求
的面积．

17.（本小题满分15分）已知数列
的前n项和为
，且满足
+
=2．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式
的n的取值范围．

18．（本小题满分15分）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，点
分别为
的中点，且
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求直线
与
所成角的正切值．

19．（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系
中，点
，
在抛物线
上．

（1）求p，t的值；

（2）过点P作PM垂直于
轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为
，且
，求点C的坐标．

20．（本题满分14分）已知函数
，设函数
在区间
上的最大值为
．

（Ⅰ）若
，试求出
；

（Ⅱ）若
对任意的
恒成立，试求
的最大值．

台州中学2015学年第一学期期中参考答案

高三 数学（文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

A

C

C

A

D

B

D





非选择题部分（共110分）

二、填空题(本大题共7小题，9—12题：每空格3分，13—15题：每小题4分，共36分)

9.
10．
，
，
11. 3，-12 12.
；2个

13．﹣3 14.
15. 2+

三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本题满分15分）

【解析】（Ⅰ）因为
， 所以
，

所以
，…………………………………………………………………3分

所以
， 又因为
，所以
。………7分

（Ⅱ）由
可得
,…………………………………………9分

由
可得
， …………………………………………………12分

而

所以
的面积

………………………………15分

17.（本小题满分15分）

【解析】（Ⅰ）n=1时
,

∵

当
时
∴

∵
∴
…………………………………………………7分

（Ⅱ）

∴

∴
…………………………………………………………………………15分

18．（本小题满分15分）

【分析】（Ⅰ）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD．（其它证法酌情给分）

（Ⅱ）方法一：可证平面PAD⊥平面ABCD，过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，解三角形可得解；

方法二：PA⊥AB，PA⊥AC，又可证AB⊥AC，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设平面PAD的一个法向量为
，则设MN与平面PAD所成的角为θ，则由夹角公式即可求得MN与平面PAD所成角的正切值．

【解析】（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE

，

又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC

．

∴NE
MC，即MNEC为平行四边形，………………………………………………4分

∴MN∥CE∵EC?平面PCD，且MN?平面PCD，∴MN∥平面PCD．………… 7分

（其它证法酌情给分）

（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，

过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．

则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，………………………………………10分

由AB=1，
，AD=2，得AC⊥CD，

由AC?CD=AD?MF，得
，

在Rt△AMN中，AM=AN=1，得
．

在Rt△MNF中，
，∴
，

直线MN与平面PAD所成角的正切值为
． ……………………………………15分

方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，

又∵AB=1，
，BC=AD=2，∴AB2+AC2=BC2，AB⊥AC．…………………9分

）

如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则
，N（0，0，1），P（0，0，2），
，∴
，

，
，………………………………………11分

设平面PAD的一个法向量为
，则

由
，令y=1得
，………………… 13分

设MN与平面PAD所成的角为θ，则

，∴MN与平面PAD所成角的正切值为
．……………………………………………………15分

19．（本小题满分15分）

【解析】（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，………………………………………4分

将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，因为t＜0，所以t=﹣2．………………………………7分

（2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=﹣
x+
，……………9分

联立抛物线方程y2=2x，并解得B（
，1），

所以k1=﹣
，k2=﹣2，…………………………………………………………………………12分

代入k1+k2=2k3得，k3=﹣
，

从而直线PC的方程为y=﹣
x+
，

联立直线AM：y=﹣
x+
，

并解得C（﹣2，
）．……………………………………………………………………………15分

20．（本题满分14分）

【解析】（Ⅰ）当
时
在区间
上是增函数，

则
是
和
中较大的一个，

又

，

，则
………………………5分

（Ⅱ）

（i）当
时，
在区间
上是单调函数，则

而

，

，

则




，可知
…………………………8分

（ii）当
时，函数
的对称轴
位于区间
之内，

此时
，又
，

① 当
时，有
，

则





…………10分

② 当
时，有
，

则





………12分综上可知，对任意的
、
都有
[而当
，
时，
在区间
上的最大值
，

故
对任意的
、
恒成立的
的最大值为
. …………………………………………14分