2016届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试数学理试题

2015.11

说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷为第1页至第2页，第II卷为第3页至第4页，试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。

第I卷（共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）

1.

A.R B.

C.
D.○

2.

A.
B.
C.
D.

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，3）内是增函数的是

A.
B.
C.
D.

4.

A.
B.
C.
D.

5.已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是

A.p真q假 B.p假q真 C.“p∨q”为假 D.“p∧q”为真

6.将函数
的图象沿x轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的图象，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

7.

A.

B.

C.

D.

8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当
时，
，若
，则实数a的取值范围是

A.
B.（-2，1） C.（-1，2） D.

9.△ABC中，
，则△ABC的周长为

A.
B.

C.
D.

10.已知y=f(x)是奇函数，且满足f(x+2)+3f(-x)=0,当x
[0,2]时，f(x)=x2-2x,则当x
[-4,-2]时，f(x)的最小值为

A.-1 B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a , b , c，且a=15,b=10,A=60°，则cosB= 。

12.
。

13.若曲线C1:y=3x4-ax3-6x2在x=1处的切线与曲线C2:y=ex在x=1上的切线互相垂直，则实数a的值为 。

14.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2，1]的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为 。

15.对于函数f(x)=x|x|+px+q，现给出四个命题：

①q=0时，f(x)为奇函数；

②y=f(x)的图象关于（0，q）对称；

③p=0,q>0时，方程f(x)=0有且只有一个实数根；

④方程f(x)=0至多有两个实数根。

其中正确命题的序号为 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本小题满分12分）

已知函数
的最小正周期为
。

（I）求
的值及函数
的单调递增区间；

（II）当
时，求函数
的取值范围。

17.（本小题满分12分）

已知命题p：方程
在[-1，1]上有解，命题q：只有一个实数x0满足不等式
，若命题“
”是假命题，求实数a的取值范围。

18.（本小题满分12分）

。

（I）求函数f(x)的单调区间；

（II）对一切的
恒成立，求实数a的取值范围。

19.（本小题满分12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，且 。

（I）当A=30°时，求a的值；

（II）当△ABC的面积为3时，求a+c的值。

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x)=ex-ax=1(a>0,e为自然对数的底数)。

（I）求函数f(x)的最小值；

（II）若f(x)≥0对任意的x
R恒成立，求实数a的值。

21.（本小题满分14分）

已知函数
。

（I）

（II）讨论函数f(x)的单调性；

（III）当-1

山东省实验中学2013级第二次诊断性考试

数学答案(理科) 2015．11

1-10 BCABC ADBDC

11.
12．
13．
14.1/2或1/16 15.①②③

16．解：(Ⅰ)


4分

因为
最小正周期为
,所以
………………………………………6分

所以
.

由
,
,得
.

所以函数
的单调递增区间为[
],
……………………8分

(Ⅱ)因为
,所以
,

所以

所以函数
在
上的取值范围是[
] ………………………………………12分

17.

∴当命题
为真命题时
. ………………………………………4分

又“只有一个实数
满足
”，即抛物线
与
轴只有一个交点，∴
，∴
或
.

∴当命题
为真命题时，
或
. ………………………………………8分

∴命题“p∨q”为真命题时，
.∵命题“p∨q”为假命题，∴
或
.

即
的取值范围为
. ………………………………………12分

18.(Ⅰ)

………………………4分

(Ⅱ)由题意:
即

可得
………………………6分

设
,

则
………………………8分

令
,得
(舍)

当
时,
;当
时,
………………………10分

当
时,
取得最大值,

=-2
.

的取值范围是
. ………………………12分

19 .(1)因为cos B＝，所以sin B＝.

由正弦定理＝，可得＝，所以a＝. ………………………4分

(2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，

所以ac＝3，ac＝10. ………………………7分

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，

得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20. ………………………10分

所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.

所以a＋c＝2. ………………………12分

20.（1）由题意
，

由
得
.

当
时,
；当
时，
.

∴
在
单调递减，在
单调递增.

即
在
处取得极小值，且为最小值，

其最小值为
（6分）

（2）
对任意的
恒成立，即在
上，
.

由（1），设
，所以
.

由
得
.

∴
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，

∴
在
处取得极大值
.

因此
的解为
，∴
. （13分）

21.解：（Ⅰ）当
时，
，∴
．

∵
的定义域为
，∴由
得
． ---------------------------2分

∴
在区间
上的最值只可能在
取到，

而
，
．--4分

（Ⅱ）
．

①当
，即
时，
在
单调递减；-------------5分

②当
时，
在
单调递增； ----------------6分

③当
时，由
得
或
（舍去）

∴
在
单调递增，在
上单调递减； --------------------8分

综上，当
时，
在
单调递增；

当
时，
在
单调递增，在
上单调递减．

当
时，
在
单调递减； -----------------------10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
时，

即原不等式等价于
---------------------------12分

即
整理得

∴
， ------13分 又∵
，所以
的取值范围为
.-----14分

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