吉林省实验中学2016届高三年级第三次模拟考试

数学（理）试卷

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

（1）设集合
，若
（
为自然对数底），则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2） 若复数
满足
，则
的虚部为

（A）
（B）
（C）4 （D）

（3）
的展开式中的常数项为

（A）
（B）
（C）40 （D）

（4）等差数列
的前
项和为
,若
,则
等于

（A）28 （B）21 （C）14 （D）7

（5）设命题

，
，且
；命题
关于
的函数
（
且
）是指数函数，则命题
成立是命题
成立的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）执行右面的程序框图,如果输入的
,那么输出的

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）给出下列关于互不重合的三条直线
、
、
和两个平面
、
的四个命题：

①若
，
，点
，则
与
不共面；

② 若
、
是异面直线，
，
，且
，
，则
；

③ 若
，
，
，则
；

④ 若
，
，
，
，
，则
，

其中为真命题的是

（A）①③④ （B）②③④ （C）①②④ （D）①②③

（8）袋中装有大小形状完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次取出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（9）函数
的部分图象如图所示，则
的值分别是

（A）
（B）
（C）
（D）

（10） 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

（A）
（B）
（C）21 （D）18

第9题图 第10题图

（11） 过曲线
的左焦点F作曲线
的切线，设切点为M，延长FM交曲线
于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为

（A）
（B）
（C）
+1 （D）

（12）设函数
,其中
,存在
,使得
成立,则实数
的值是

(A)
(B)
(C)
(D) 1

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)

（13）已知
均为正数，且2是
与
的等差中项，则
的最小值为 .

（14）向区域
内随机投入一点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．

（15） 已知函数
，将
图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，若对任意
，都有
成立，则
的值为

（16）设函数
图像上不同两点
处的切线的斜率分别是
，规定
叫做曲线
在点
与点
之间的“弯曲度”，给出以下命题：

①函数
图像上两点
与
的横坐标分别为
，则

②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

③设点
、
是抛物线
上不同的两点，则
；

④设曲线
上不同两点
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
.

以上正确命题的序号为 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项为1，前n项和Sn满足
．

（Ⅰ）求Sn与数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设
（n∈N*），求使不等式
成立的最小正整数n．

（18）（本小题满分12分）

某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了120份问卷。对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表:

做不到光盘

能做到光盘

合计



男

45

10

55



女

30

15

45



合计

75

25

100



（Ⅰ）现按女生是否能做到光盘进行分层，从45份女生问卷中抽取了9份问卷,从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为
，试求随机变量
的分布列和数学期望;

（Ⅱ）若在犯错误的概率不超过P的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由.

附：独立性检验统计量K2=
, 其中n=a+b+c+d.

独立性检验临界表：

P(K2
k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025



k0

1.323

2.072

2.706

3.840

5.024





（19）(本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，
平面
，
//
，AB=PA=4，BE=2．

（Ⅰ）求证：
//平面
；

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使得平面
平面
？如果存在，求
的值；如果不存在，说明理由．

（20）（本小题满分12分）

在
中，点
的坐标分别是
，点
是
的重心，
轴上一点
满足
，且
．

（Ⅰ）求
的顶点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）直线
与轨迹
相交于
两点，若在轨迹
上存在点
，使四边形
为平行四边形(其中
为坐标原点)，求
的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
其中
为常数，设函数
与
轴的交点为A，函数
的图象与
轴的交点为B，函数
在A点的切线与函数
在B点的切线互相平行.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若不等式
在区间
上恒成立，求实数
的取值范围.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图，过点
作圆
的割线
与切线
，
为切点，连接
，
，
的平分线与
，
分别交于点
，
，其中
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的大小．

（23）（本小题满分10分）选修
；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：
．

（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；

（Ⅱ）若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．

（24）（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
，

（Ⅰ）解关于
的不等式
；

（Ⅱ）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围.

2015、9、11高三一模数学理答案

一、选择题

CDCDA BCCAA DA

二、填空题

13．
14.
15. 2 16. ②③

三、解答题

（17）解：（Ⅰ）因为
，

所以
是首项为1，公差为1的等差数列，………1分

则
=1+(n－1)1=n，……………2分

从而Sn=n2．…………………3分

当n=1时，a1=S1=1，

当n>1时，an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2 =2n－1．

因为
也符合上式，

所以an=2n－1．…………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，……………8分

所以

，……………10分

由
，解得n>12．………………11分

所以使不等式成立的最小正整数为13．……………12分

（18）

（19）解：（Ⅰ）设
中点为G，连结
，
．

因为
//
，且
，
，

所以
//
且
，

所以四边形
为平行四边形．

所以
//
，且
．

因为正方形
，所以
//
，
，

所以
//
，且
．

所以四边形
为平行四边形．

所以
//
．　　

因为
平面
，
平面
，

所以
//平面
．　　……………………4分

（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则
，
，

，
，
，

所以
，
，

．

设平面
的一个法向量为
，

所以
．

令
，则
，所以
．

设
与平面
所成角为
，

则
．

所以