北京市朝阳区2016届高三上学期期中统一考试

数学（文）试题

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合
，B＝
，则A∩B=

A．
B．
C．
D．
或

2. 设平面向量
，
, 且

, 则实数
的值是

A．
B．
C．
D．

3.下列函数在
上既是偶函数，又在
上单调递增的是

A．
B．
C．
D．

4．已知
，那么
等于

A．
B．
C．
D．

5. 要得到函数
的图象，只需将函数
的图象

A．向左平移
个单位?? B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位??? D．向右平移
个单位

6. 下列命题正确的是

A. “
”是“
”的必要不充分条件

B. 若给定命题p：
，使得
，则
：
均有

C. 若
为假命题，则
均为假命题

D. 命题“若
，则
”的否命题为“若
则

7.在
中，已知
，
，
分别是
边上的三等分点，则
的值是

A．
B．
C．
D．

8. 已知函数
若存在实数
，使函数
有两个零点，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.若集合{
={
，则

10.设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
的值是 ．

11.给出四个命题：

①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；

②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；

③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；

④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；

其中真命题的序号是________．

12．已知函数
(
)的最小正周期为
，则
，在
内满足
的
．

13. 若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是 .

14.如图，在
中，
，
，
是
的中点，若向量
（
），且点
在
的内部（不含边界），则
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
的单调递减区间.

16. （本小题满分13分）

设等差数列
的前
项和为
，
，公差
已知
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

17. （本小题满分14分）

如图, 在三棱柱
中，
底面
,
,点
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
.

(Ⅲ)设
,
,在线段
上是否存在

点
，使得
?若存在,确定点
的位置; 若不存在，说明理由.

18. （本小题满分13分）

在
中，角
所对的边分别为
．已知
．

（Ⅰ）若
，求
的面积；

（Ⅱ）求
的取值范围．

19. （本小题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若函数
在区间
上单调递减，求
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，证明
.

20. （本小题满分14分）

已知函数
(其中
，
),函数
的导函数为
，且
．

(Ⅰ)若
，求曲线
在点
处的切线方程；

(Ⅱ)若函数
在区间
上的最小值为
，求
的值．

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学答案（文史类） 2015.11

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

B

D

C

A

B

B

C

C



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案





①④


,







（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15. （本小题满分13分）

（I）由已知可得：

.

所以
的最小正周期为
. …………………..7分

（II）由
，
,

得
,
.

因此函数
的单调递减区间为
,
.

…………………..13分

16. （本小题满分13分）

解：（I）依题意，

解得

因此
. …………………..6分

(Ⅱ)依题意，
.

=

…………………..13分

17.（本小题满分14分）

（I）在三棱柱
中，因为
底面
，
底面
，

所以
.

又
，
,

所以
．

而
，

则
. …………………..4分

(Ⅱ)设
与
的交点为
，连结
，

因为
是
的中点，
是
的中点，

所以
∥
.

因为
，
，

所以
∥
.

…………………..9分

(Ⅲ)在线段
上存在点
，使得
,且
为线段
的中点.

证明如下：因为
底面
，
底面
,

所以
.

由已知
，
为线段
的中点，

所以
.

又
，

所以
平面
.

取线段
的中点
，连接
.

因为

平面
，所以
.

由已知
，由平面几何知识可得
.

又
,所以
平面
.

又
平面
，

所以
.

…………………..14分

18. （本小题满分13分）

（I）在
中，因为
，

所以
，

由正弦定理

可得
则
.

又
为锐角，则
，所以
.

所以

. .……………………………………………………………6分

（II）

=

=

.

因为
，

所以
.

则
.

所以
的取值范围是
. ………………………………………13分

19. （本小题满分13分）

解：（I）函数的定义域为
.

因为
.

又因为函数
在
单调减，所以不等式
在
上成立.

设
，则
，即
即可，解得
.

所以
的取值范围是
. …………………………………7分

（Ⅱ）当
时，
，

.

令
，得
或
（舍）.

当
变化时，
变化情况如下表



1









0

+







极小值





 所以
时,函数
的最小值为
.

所以
成立. ………………………………13分

20. （本小题满分14分）

解：因为
，所以
．

因为
，所以
．

所以
． ……………………2分

(Ⅰ)当
时，
时，