2016届云南省玉溪市第一中学高三上学期期中考试

理科数学试卷

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合
（ ）

A．{2，3} B．
C．2 D．2，3

2．若复数
满足
,则
的共轭复数是 ( )

A．
B．
C．
D．

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

4.设
，则（　　）

A．
B．
C．
D．

5．已知
为等差数列，若
，则
的值为( )

A.
B.
C.
D.

6.给出下列命题：

①若直线与平面
内的一条直线平行，则
；②若平面
平面
，且
，则过
内一点
与垂直的直线垂直于平面
；③
，
；④已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件．其中正确命题有（ ）

A．②④ B．①② C．④ D．②③

7．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园。为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有( )

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

8.设点
是曲线
上的任意一点，
点处的切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

9．如右图是李大爷晨练时所走的离家距离
与行走时间
之间的函数关系图，若用黑点表示李大爷家的位置，则李大爷散步行走的路线可能是（ ）

10.若实数
，
满足不等式组
，目标函数
的最大值为
，则实数
的值是（ ）

A．
B．
C． D．

11.已知双曲线
与抛物线
有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若
，则点F到双曲线的渐近线的距离为( )

A．
B．
C．
D．

12．设直线与曲线
有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=
，则直线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设
，若
，

则
.

14. 一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶

点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

15．已知
为三角形
的边
的中点，点
满足
，

，则实数
的值为

16．数列
的通项
，其前
项和为
，则
为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

设
的内角
所对的边为
，

（1）求角
的大小；（2）若
，
，
为
的中点，求
的长。

18．（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱
的

各条棱长均为
，
是侧棱
的中点．

求证：平面
平面
；

求平面
与平面
所成二面角（锐角）的大小．

19．（本小题满分12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人。

求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；

（2）选出的3人中，语文教师人数
的分布列和数学期望。

20.（本小题满分12分）如图，椭圆

（
）经过点
，离心率
．

求椭圆
的方程；

设直线
与椭圆
交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为
（
与
不重合），则直线
与
轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

21. （本小题满分12分）已知函数
在点
处的切线方程为
.

（1）求函数
的解析式；（2）设
时，求证：
；

（3）已知
，求证：
.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号。

22. 选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在极坐标系中，曲线
，
有且仅有一个公共点．

（1）求
；

（2）
为极点，
为曲线
上的两点，且
，求
的最大值．

23.选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数
.

（1）求函数
的最小值
；（2）若正实数
满足
，求证：
.

玉溪一中2015——2016学年上学期高2016届数学

（理科）期中考试题参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

B

D

A

C

B

D

C

D

A

B



13. 0 14.
15. -2 16. 470

17．解：(1)

…………6分

(2)

在
中，
…………12分

18．(l)证明：取
的中点
，
的中点
．连结
．

故
．又
四边形
为平行四边形，

∥
．又三棱柱
是直三棱柱．△
为正三角形．
平面
，
，而
，
平面
，又
∥
，
平面
．

又
平面
．所以平面
平面
．…………………………6分

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则

得

设
为平面
的一个法向量．

由
得，

即

显然平面
的一个法向量为
．

则
，故
．

即所求二面角的大小为
………………12分

（此题用射影面积公式也可；传统方法做出二面角的棱，可得
即为所求）

19.解（Ⅰ）解：设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A1“恰好选出2名语文教师“为事件A2，”恰好取出3名语文教师”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而

P(A2)=P(X=2)=
,P(A3)=P(X=3)=
,…………3分

所以选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为

P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
+
+
=
…………5分

（Ⅱ）解：由于从10名教师中任选3人的结果为
，从10名教师中任取3人，其中恰有k名语文教师的结果数为
，那么从10人任选3人，其中恰有k名语文教师的概率为P(X=k)=
,k=0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列是

X

0

1

2

3



P











…………10分

X的数学期望EX=
…………12分

20．解：(1)依题意可得
，解得
．

所以，椭圆
的方程是
……………………4分

(2)由

得
，即
……………………………6分

设
，

则
．且
．…………………7分

经过点
，
的直线方程为
．

令
，则
………………9分

又
．

当
时，

这说明，直线
与
轴交于定点
………………………………………12分

21、解：（Ⅰ）将
代入切线方程得
， ∴
，………1分

化简得
.
，……………2分
，

解得：
.∴
. …………4分

（Ⅱ）由已知得
在
上恒成立，

化简
，即
在
上恒成立.…………5分

设
，
， …………6分

∵
∴
，即
，

∴
在
上单调递增，
，∴
在
上恒成立 ……8分

（Ⅲ）∵
， ∴
，由（Ⅱ）知有
， ……10分

整理得
，∴当
时，
. …………12分

22.解答： 解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．

∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；

由l：ρcos（θ﹣
）=，展开为
，

∴l的直角坐标方程为x+
y﹣3=0．

由直线l与圆C相切可得
=a，解得a=1．…………5分

（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+
，

则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+
）

=3cosθ﹣
sinθ=2
cos（θ+
），

当θ=﹣
时，|OA|+|OB|取得最大值2
．…………10分

23、解：（Ⅰ）∵
，………………………………2分

当且仅当
时取最小值2，
．………………………………………………5分

（Ⅱ）
，……………………………………7分

，………………………………………………………………………8分

∴
………………………………………………………………10分

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