鄂尔多斯市西部四校2016届高三上学期期中联考

数学（理）试题

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷答题卡交回。

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．?x∈R，|x|＋x2<0 B．?x∈R，|x|＋x2≤0

C．?x0∈R，|x0|＋x<0 D．?x0∈R，|x0|＋x≥0

2.已知集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

3. 已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)

A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9)

4. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A. 方程x2＋ax＋b＝0没有实根

B. 方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根

C. 方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根

D. 方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根

5.把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为(　　)．

A．y＝sin，x∈R B．y＝sin，x∈R

C．y＝sin ，x∈R D．y＝sin，x∈R

6. 曲线y＝xex-1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　)

A．2e B．2 C．e D．1

7. 2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （ ）

A．－
＜x＜3 B．－
＜x＜0

C．－3＜x＜
D．－1＜x＜6

8.设函数
，则
（ ）

A．9 B．6 C．3 D．12

9.已知等比数列
满足a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则a3 + a5 + a7 = ( )

A．21 B．42 C．63 D．84

[来源:Z,xx,k.Com]

10. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)

A．{1，3} B．{－2－，1，3}

C．{2－，1，3} D．{－3，－1，1，3}

11. 黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(　　)

A．A＝30°，B＝45° B．c＝1，cosC＝

C．B＝60°，c＝3 D．C＝75°，A＝45°

12.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设向量a，b不平行，向量
与
平行，则实数λ = _____

14.若变量x，y满足约束条件
则z＝3x＋y的最小值为

15.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于

16. 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f(fn(x))，n∈N+，则f2015(x)的表达式为

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知集合A
，B=
，且
，求实数
的值组成的集合。

（本小题满分12分）

已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(1＋cos β，－sin β)．

(1)若α＝，β∈(0，π)，且a⊥b，求β；

(2)若β＝α，求a·b的取值范围．

19.（本小题满分12分）

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，

cos A＝，B＝A＋.

(1)求b的值；

(2)求△ABC的面积．

20.（本小题满分12分）

已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

求{an}的通项公式；

求数列{}的前n项和．

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.[来源:学科网ZXXK]

(1)求a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间与极值．

[来源:学#科#网]

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号

22.（本小题满分12分）

已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程；

23.（本小题满分12分）

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F是A1C1的中点，连接FB1、AB1，FA. 求证： (1)平面FAB1⊥平面ACC1A1；

(2) 直线BC1∥平面AFB1.

24.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝ 若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值.

参考答案

选择题(5分*12=60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

A

A

C

B

D

A

B

B

D

C



填空题（5分*4=20分）

13 1/2

14、 1

15、 12

16、

解答题（共70分）

17.（10分）解：A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，A∪B=A，∴B
A，①m=0时，B=
，B
A；……..3分

②m≠0时，由mx+1=0，得x=- ， ……..6分

∵B
A∴- ∈ A 

∴- =2或- =3，得m= 或 ……..9分

∴满足题意的m的集合为{0， ， }．……..10分

18.（12分）解　(1)∵a⊥b，∴a·b＝cos α＋cos αcos β－sin αsin β＝0，

∵α＝，∴cos ＋cos cos β－sin sin β＝0，

整理得cos＝－，

∴β＋＝＋2kπ(k∈Z)或β＋＝＋2kπ(k∈Z)，

∵β∈(0，π)，∴β＝.……..6分

(2)a·b＝cos α＋cos2 α－sin2α＝cos α＋2cos 2α－1，

令t＝cos α，t∈[－1,1]，

∴a·b＝2t2＋t－1＝2（t+1/4)2－，

∴当t＝1时，(a·b)max＝2，

当t＝－时，(a·b)min＝－，

∴a·b的取值范围为.……..12分

19.（12分）解　(1)在△ABC中，

由题意知sin A＝＝，

又因为B＝A＋，

所以sin B＝sin(A＋)＝cos A＝.

由正弦定理可得

b＝＝＝3.……..6分

(2)由B＝A＋得cos B＝cos(A＋)＝－sin A＝－.

由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)．

所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)

＝sin Acos B＋cos Asin B

＝×(－)＋×＝.

因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×3×＝.……..12分[来源:学*科*网]

20. （12分）解　(1)解方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，

从而a1＝.

所以{an}的通项公式为an＝n＋1. ……..6分

(2) 设{}的前n项和为Sn，由(1)知＝，则

Sn＝＋＋…＋＋，

Sn＝＋＋…＋＋.

两式相减得

Sn＝＋(＋…＋)－

＝＋(1－)－.

所以Sn＝2－.……..12分

21. （12分）解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，

由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知

f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.……..6分[来源:学&科&网Z&X&X&K]

(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，

则f′(x)＝，

令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，

因x＝－1不在f(x)的定义域 (0，＋∞)内，故舍去．

当x∈(0,5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．

由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5. ……..12分

22. （12分）解：圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0，4)，半径为4.

设M(x，y)，则
＝(x，y－4)，
＝(2－x，2－y)．

由题设知
·
＝0，……..6分

故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. ……..12分

23. （12分）解：(1)△A1B1C1为正三角形?B1F⊥A1C1，AA1⊥平面A1B1C1?B1F⊥AA1，易得平面FAB1⊥平面ACC1A1. ……..6分

(2)连接A1B与AB1交于点O，连接OF，易得OF为△A1BC1的中位线，得BC1∥平面AFB1. ……..12分

24. （12分）解：f(x)>k?kx2－2x＋6k<0. ……..4分

由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是

－3，－2. ……..8分

由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝
，即k＝－
……..12分

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