金山中学2015学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷参考答案

（考试时间：120分钟　满分：150分　命题人：陈繁球　审核人：鲁丹）

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知全集
，
，且
，则实数
________。3

2．若
，则关于
的不等式
的解集是_________________。

3．已知命题
的否命题是“若


，则
”，写出命题
的逆否命题是

__________________________________。若
，则


。

4．已知幂函数
过点
，则
的反函数为
____________。

5．已知
，则
_____________。0

6．在平面直角坐标系
中，以
轴为始边作锐角
，它的终边与单位圆相交于点
，且点
的横坐标为
，则
的值为____________。-

7．对于集合
，定义函数
；对于两个集合
、
，定义集合

。已知
，
，则用列举法写出集合
的结果为____________。

8．要得到函数
的图像，可以由函数
的图像向左平移得到，则平移的最短长度为______________。

9．若函数
，则集合
中的元素个数是_____。5

10．已知
分别为
三个内角
的对边，
，且

，则
面积的最大值为____________。

11．设
为实常数，
是定义在R上的奇函数，当
时，
，若
对一切
成立，则
的取值范围为________。

12．已知不等式组
有唯一解，则实数
_______。

13．求“方程
的解”有如下解题思路：设函数
，则函数
在
上单调递减，且
，所以原方程有唯一解
。类比上述解题思路，方程
的解集为____________。

14．已知函数
没有零点，则
的取值范围是__。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 （ D ）

（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）等腰三角形

16．若
和
均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ A ）

（A）
（B）

（C）
（D）

17．在
中，角
的对边分别是
，则
是
的 （ C ）

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件

（C）充分且必要条件 （D）不充分也不必要条件

18．给出下列六个命题：

（1）若
，则函数
的图像关于直线
对称。

（2）
与
的图像关于直线
对称。

（3）
的反函数与
是相同的函数。

（4）
无最大值也无最小值。

（5）
的周期为
。

（6）
有对称轴两条，对称中心三个。

则正确命题的个数是 （ A ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知不等式
的解集为
。

（1）求
的值；

（2）若
在
上递增，求实数a的取值范围。

解：（1）由条件得：
，所以
。

（2）因为
在
上递增， 所以
≥1，a≥2。

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

设全集
，关于
的不等式
（
）的解集为
。

（1）求集合
；

（2）设集合
，若
中有且只有三个元素，求实数
的取值范围。

解：（1）由
可以得到：
。

当
时，解集是
；当
时，解集是
。

（2）(i)当
时，
，不合题意；

(ii)当
时，

。

因

，

由
，得
，即
，所以
。

当
有3个元素时，
就满足
可以得到
。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

已知函数
。

（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；

（2）若存在
满足
，求实数
的取值范围。

[解]（1）

，函数
的最小正周期
。

由
（
），得
（
），

单调递增区间为
（
）。

（2）当
时，
，
6分

。

存在
满足
的实数
的取值范围为
。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。

设函数
，函数
，
，其中
为常数，且
。令函数
为函数
与
的积。

（1）求函数
的表达式，并求其定义域；

（2）当
时，求函数
的值域；

（3）是否存在自然数
，使得函数
的值域恰为
？若存在，试写出所有满足条件的自然数
所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：（1）由条件，函数
，因为
的定义域为
，故
的定义域为
。

（2）令
，则有
，得
。当
时，
。

所以
时，
递减，于是函数
单调递增。所以，
。

（3）假设存在这样的自然数
，满足条件。令
，代换可得
。

因为
的定义域为
，则有
。

要满足值域为
，则要满足
。

由于当且仅当
等号成立，此时
恰好取得最大值，则由
，

故
。

又
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，

由于
，
。则有
，由于
，得
。

故满足条件的所有自然数
的集合为
。

23．（本题满分18分）第1小题满分为4分，第2小题满分为7分，第3小题满分为7分。

已知函数
。

（1）设
，判断函数
在
上的单调性，并加以证明；

（2）设
且
时，
的定义域和值域都是
，求
的最大值；

（3）若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围。

解：（1）设
，则
。

，
，
。

，即

∴函数
在
上的单调递增。

（2）由⑴及
的定义域和值域都是
，得
。

因此
是方程
的两个不相等的正数根。

等价于方程
有两个不等的正数根，

即：

。

，

，
时，
。

（3）
，则不等式
对
恒成立，

即
，∴
，对
恒成立。

令
，
，

易知：
在
递增，同理
在
递减。

。

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