市北中学2015-2016学年第一学期期中考试高三(理)数学试卷

填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、已知集合
，
，若
，则
。

2、计算
。

3、函数
的反函数的定义域是 。

4、设
为等差数列,若
,则
的值为 。

5、方程
=
的解为
_____________。

6、已知角
的终边上的一点的坐标为
,则角
的最小正值为 。

7、若向量
，
满足
，
，
，则向量
和
的夹角的大小为 。

8、设
，且
，则
的取值范围是 。

9、函数
（其中
的图像如图所示，为了得到
的图象，则需将
的图象向右最少平移 个长度单位。

10、已知
，若关于
的方程
有实根，则
的取值范围是 。

11、已知函数
，
，对于任意的
都能找到
，使得
，则实数
的取值范围是 。

12、已知函数
与
的图像相交于
、
两点。若动点
满足
，则
的轨迹方程为

13、已知函数
，对函数
，定义
关于
的“对称函数”为
，
满足：对任意
，两个点
，
关于点
对称。若
是
关于
的“对称函数”，且
恒成立，则实数
的取值范围是 。

14、对于非空实数集
，定义
。

设非空实数集
。现给出以下命题：

(1)、对于任意给定符合题设条件的集合
必有

(2)、对于任意给定符合题设条件的集合
必有
；

(3)、对于任意给定符合题设条件的集合
必有
；

(4)、对于任意给定符合题设条件的集合
必存在常数
，使得对任意的
，恒有
． 以上命题正确的是 。

二 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、“
”是“直线
和直线
平行”的（ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

16、若圆
：
与圆
关于直线
对称，则圆
的方程是( ) A.
B.

C.
D.

17、设
，则函数
的图像大致形状是( )

A、 B、 C、 D、

18、如图,四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中
，下列判断正确的是( )

A、满足
的点P必为BC的中点

B、满足
的点P有且只有一个

C、
的最大值为3

D、
的最小值不存在

三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19、（本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）

已知过点
的动直线
与圆
：
相交于
、
两点，
与直线
：
相交于
.

(1)、求证：当
与
垂直时，
必过圆心
；

(2)、当
时，求直线
的方程。

20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）

已知
、
、
，为△
的三个内角，向量
，
，且
．

(1)、求∠
的大小；

(2)、若
，
，求△
的面积。

21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池
的池底水平铺设污水净化管道
，
是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口
是
的中点，
分别落在线段
，
上.已知
米，
米，记
.

(1)、试将污水净化管道的长度
表示为
的函数,并写出定义域；

(2)、问：当
取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

22、（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题满分6分）

已知等比数列
的首项
，数列
前
项和记为
，前
项积记为
。

(1)、若
，求等比数列
的公比
；

(2)、在(1)的条件下，判断|
|与|
|的大小；并求
为何值时，
取得最大值；

(3)、在(1)的条件下，证明：若数列
中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为
，则数列
为等比数列。

23、（本题满分18分. 其中第1小题5分，第2小题6分，第3小题满分7分）

已知函数

常数
）满足
.

(1)、求出
的值，并就常数
的不同取值讨论函数
奇偶性；

(2)、若
在区间
上单调递减，求
的最小值；

(3)、在(2)的条件下，当
取最小值时，证明：
恰有一个零点
且存在递增的正整数数列
，使得
成立。

市北中学2015-2016学年第一学期期中考试高三数学 (理)参考答案

填空题

2、
3、
4、
5、
6、

7、
8、
9、
10、

11、
12、
13、
14、（1）（4）

选择题

15、A 16、A 17、B 18、 C

解答题

19、 （本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）

解： (1)、∵
与
垂直，且
，∴
，

故直线
方程为
，即

∵圆心坐标（0，3）满足直线
方程，∴当
与
垂直时，
必过圆心

(2)、①当直线
与
轴垂直时, 易知
符合题意

②当直线
与
轴不垂直时, 设直线
的方程为
，即
，

∵
，∴
，

则由
，得
, ∴直线
：
.

故直线
的方程为
或

20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）

解：解：（1）由
，可得
·
=0，　　　　　　　　　

即
·
，又
，

所以
，

即
，又
， ∴
，故
．　　　　　　　　　

（2）在△ABC中，由
，

　可得
，

即
，故
，

∴
．　　　　　　　

21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）

解：(1)
，

由于
，

，

，

(2)、
=

设
则

由于
，所以

在
内单调递减，于是当
时
.

的最小值
米.

答：当
时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为
米

22、（本题满分16分，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题满分6分）

解: (1)、
，解得
，

(2)
.又
,

当
时,
；当
时,
.
当
时,
取得最大值,

又
,∴
的最大值是
和
中的较大者,

又
，
.因此当
时,
最大.

(3)
,
随
增大而减小,
奇数项均正,偶数项均负,

①当
是奇数时,设
中的任意相邻三项按从小到大排列为
,

则
,
,

,因此
成等差数列,

公差
；

②当
是偶数时,设
中的任意相邻三项按从小到大排列为
,

则
,
.

∴
,因此
成等差数列,

公差
,

综上可知,
中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列,

且
, ∵
,∴数列
为等比数列.

23、（本题满分18分. 其中第1小题5分，第2小题6分，第3小题满分7分）

解：(1)、由
得
，解得
.

从而
，定义域为

当
时，对于定义域内的任意
，有
，
为偶函数

当
时，
从而
，
不是奇函数；
，
不是偶函数，
非奇非偶

(2)、对于任意的
，