市北中学2015-2016学年第一学期期中考试高三数学(文科）试卷

填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1、已知集合
，
，若
，则
。

2、计算
。

3、函数
的反函数的定义域是 。

4、设
为等差数列,若
,则
的值为 。

5、方程
=
的解为
_____________。

6、已知角
的终边上的一点的坐标为
,则角
的最小正值为 。

7、若向量
，
满足
，
，
，则向量
和
的夹角的大小为 。

8、设
，且
，则
的取值范围是 。

9、函数
（其中
的图像如图所示，为了得到
的图象，则需将
的图象向右最少平移 个长度单位。

10、已知
，若关于
的方程
有实根，则
的取值范围是 。

11、已知函数
，
，对于任意的
都能找到
，使得
，则实数
的取值范围是 。

12、已知函数
与
的图像相交于
、
两点。若动点
满足
，则
的轨迹方程为 。

13、已知
是等差数列
的前
项和，且
，有下列四个命题，

(1)、公差
(2)、在所有
中，
最大

3)、满足
的
的个数有
个 (4)、

写出所有正确的命题的序号：____________________。

14、已知函数
，对函数
，定义
关于
的“对称函数”为
，
满足：对任意
，两个点
，
关于点
对称。若
是
关于
的“对称函数”，且
恒成立，则实数
的取值范围是 。

二 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、“
”是“直线
和直线
平行”的（ ）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

16、若圆
：
与圆
关于直线
对称，则圆
的方程是( ) A.
B.

C.
D.

17、设
，则函数
的图像大致形状是( )

A、 B、 C、 D、

18、如图,四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中
，下列判断正确的是( )

A、满足
的点P必为BC的中点

B、满足
的点P有且只有一个

C、
的最大值为3

D、
的最小值不存在

三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19、（本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）

已知过点
的动直线
与圆
：
相交于
、
两点，
与直线
：
相交于
.

(1)、求证：当
与
垂直时，
必过圆心
；

(2)、当
时，求直线
的方程。

20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）

已知
、
、
，为△
的三个内角，向量
，
，且
．

(1)、求∠
的大小；

(2)、若
，
，求△
的面积．

21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）

将一块圆心角为
，半径为
的扇形铁片裁成一块矩形(如图)，设

(1)、将裁得矩形的面积
表示为
的函数,并写出定义域；

(2)、问：当
取何值时，
最大？并求出此时裁得矩形的面积.

22、（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题满分6分）

已知等比数列
的首项
,数列
前
项和记为
.

(1)、若
，求等比数列
的公比
；

(2)、在(1)的条件下证明:
；

(3)、数列
前
项积记为
，在(1)的条件下判断|
|与|
|的大小,并求
为何值时,
取得最大值。

23、（本题满分18分. 其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题满分6分）

设函数

(1)、设
，
，证明：
在区间
内存在唯一的零点；

(2)、设
，若对任意

，有
，求
的取值范围；

(3)、在(1)的条件下，设
是
在
内的零点，判断数列
的增减性。

市北中学2015-2016学年第一学期期中考试高三数学 (文)参考答案

填空题

2、
3、
4、
5、
6、

7、
8、
9、
10、
11、

12、
13、(1)(2)(4) 14、

选择题

15、A 16、A 17、B 18、 C

解答题

19、 （本题满分12分,其中第1小题5分，第二小题7分）

解： (1)、∵
与
垂直，且
，∴
，

故直线
方程为
，即

∵圆心坐标（0，3）满足直线
方程，∴当
与
垂直时，
必过圆心

(2)、①当直线
与
轴垂直时, 易知
符合题意

②当直线
与
轴不垂直时, 设直线
的方程为
，即
，

∵
，∴
，

则由
，得
, ∴直线
：
.

故直线
的方程为
或

20、（本题满分14分,其中第1小题7分，第二小题7分）

解：（1）、由
，可得
·
=0，

即
·
，又
，

所以
，

即
，又
， ∴
，故
．　　　　　　　　　

（2）、在△ABC中，由
，

　 可得
，

即
，故
，

∴
．　　　　　　　

21、（本题满分14分，其中第1小题小题6分，第2小题满分8分）

解(1)

(2)、S

当2θ+30=90°即θ=30°时
取得最大值，为

22、（本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题满分6分）

解: (1)、
，解得
，

(2)、
,当
时,等号成立；

同理
,

当
时,等号成立；
.

(3)、
.又
,

当
时,
；当
时,
.
当
时,
取得最大值,

又
,∴
的最大值是
和
中的较大者,

又
，
.因此当
时,
最大.

23、（本题满分18分. 其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题满分6分）

解：(1)、

。

又当
时，易证
在区间
上是单调递增的，

在区间
内存在唯一的零点

(2)、当
时，

对任意
上的最大值与最小值之差
,据此分类讨论如下：

①

。

②

。

②

。

综上可知，
。

(3)、证法一：设
，

于是有
，

又由(1)知
，

所以，数列

证法二：设
，

，

则

所以，数列

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