哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期中考试

高三文科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1.已知集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.已知
，其中
为虚数单位，则
（ ）

A.
B. 1 C. 2 D. 3

3.已知向量
若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4.已知
则
等于( )

A.
B.
C.
D.

5.设
是空间三条直线，
是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是( )

A. 当
时，若
，则

B. 当
且
是
在
内的射影时，若
，则

C. 当
时，若
，则

D.当
且
时，若
，则

6.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是( )（单位：m2）．

正视图 侧视图 俯视图

A.
B.
C.
D.

7．执行右面的程序框图，若输出的结果是
，则输入的
为( )

A．
B．
C．
D．

8.设双曲线
的渐近线与抛物线

相切，则该双曲线的离心率等于( )

A.
B.
C.
D.

9.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为
，从{1,2,3}中随机选取一个数为
，则
的概率是( )

A.
B.
C.
D.

10. 在
中，
，
是
边上的一点，
，

的面积为
，则
的长为( )

A.
B.
C.
D.

11.定义在
上的函数
满足
，
，任意的
，

都有
是
的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知函数
是定义在
上的偶函数,且当
时,
单调递增，

则关于
的不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．随
的值而变化

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.设变量
满足约束条件
则
的最大值为 .

14.定长为4的线段
的两端点在抛物线
上移动，设点
为线段
的中点，

则点
到
轴距离的最小值为 .

15.直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则
=________.

16．长方体
的各个顶点都在体积为
的球O 的球面上，其中
，

则四棱锥O-ABCD 的体积的最大值为 ．

三、解答题：

17.（本小题满分12分）

已知正项数列
的前
项和为
，且
，
，
成等差数列．

（1）证明数列
是等比数列；

（2）若
，求数列
的前
项和
．

18．(本小题满分12分)

下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各
名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).

已知甲代表队数据的中位数为
，乙代表队数据的平均数是
.

（1）求
，
的值；

（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取
名成绩不低于
分

的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队

学生成绩的概率；

（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由

（方差较小者稳定）.

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，
⊥平面
，
，
，

，
，
为线段
上的点,

（1）证明：
⊥平面
；

（2）若
是
的中点，求
与平面
所成的角的正切值.

20．(本小题满分12分)

已知椭圆
的两个焦点为
、
，离心率为
，直线
与椭圆相交于

、

两点，且满足
，
,
为坐标原点．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：
的面积为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
）．

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

如图，
是圆
的直径，弦
于点
，
是
延长

线上一点，

切圆
于
，
交
于
．

（1）求证：
为等腰三角形；

（2）求线段
的长．

（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆
：
＝
经过伸缩变换
后得到曲线
．

以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，

建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
·

（1）求曲线
的直角坐标方程及直线
的直角坐标方程；

（2）在
上求一点
，使点
到直线
的距离最小，并求出最小距离．

（24）（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求关于
的不等式
的解集；

（2）如果关于
的不等式
的解集不是空集，求实数
的取值范围.

哈六中2016届高三上文科数学期中考试试题答案

一、选择：DBBCC ABADC CB

二、填空：13. 4 14.
15. 2 16． 2

17．（本小题满分12分）

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn，an，
成等差数列．

（1）证明数列{an}是等比数列；

（2）若bn=log2an+3，求数列{
}的前n项和Tn．

18．(本小题满分12分)下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队

各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分).

已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.

（1）求
，
的值；

（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；

（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）.

18．（1）
，
（2）
（3）甲队成绩较为稳定，理由略；

（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，

65，64，所以
；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以
；

（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲、乙两队各随机抽取一名，种数为
，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88。种数为3+1+1=5， 所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为
．

（3）因为甲的平均数为
，

所以甲的方差

，

又乙的方差

，

因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2， AD=CD=
，

PA=
，∠ABC=120°，G为线段PC上的点

（Ⅰ）证明：BD⊥面PAC

（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求
的值．

19．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． ∵AB=BC=2，AD=CD=
，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．

（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于
PA，

故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，

∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=
PA=
．

△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，

∴AC=2
，OC=
．∵直角三角形COD中，OD=
=2，

∴直角三角形GOD中，tan∠DGO=
=
．

（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC=
=
．

由△COG∽△CAP，可得
，即
，解得GC=
，

∴PG=PC﹣GC=
﹣
=
，∴
=
=
．．

20．（本小题满分10分）已知椭圆
的两个焦点为
，离心率为
，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足

为坐标原点．

（1）求椭圆的方程;

（2）证明：
的面积为定值．

20．（1）
（2）详见解析

【解析】

试题解析：（1）由椭圆的离心率为
，可得，
，

即
又
，∴

∴c=2，∴
， ∴椭圆方程为

（2）设直线AB的方程为y=kx+m，设
，联立

，可得
，

①

∴
，

∴
，∴
，∴
，

设原点到直线AB的距离为d，则

=
=
=

=

当直线斜率不存在时，有
，

∴
，即△OAB的面积为定值

21．（本小题满分12分）.已知函数
（
）．

（Ⅰ）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围；

21．解：（Ⅰ）

时，
，
1分

切点为
，
3分

时，曲线
在点
处的切线方程为
. 4分

（II）（i）
，
， 5分

当
时，
，
,

在
上单调递增，
，

不合题意. 7分

②当
即
时，
在
上恒成立，

在
上单调递减，有
，

满足题意. 9分

③若
即
时，由
，可得
，由
，可得
，

在
上单调递增，在
上单调递减，

，

不合题意. 11分

综上所述，实数
的取值范围是
12分

（22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，E是CD延长线上一点，AB＝10，CD＝8，3ED＝4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．

（I）求证：△EFG为等腰三角形；

（II）求线段MG的长．

（23）（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆Cl：
＝1经过伸缩变换
后得到曲线C2．以坐标原

点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直

线l的极坐标方程为
·

（I）求曲线C2的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；

（II）在C2上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

（23）（本小题满分10分）

（24）（本小题满分10劲选修4一5：不等式选讲

已知函数
。

（I）求关于x的不等式f（x）＜2的解集；

（II）如果关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围。

哈六中2016届高三上文科数学期中考试试题答案

20151103

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

D1.已知集合
，
，则
( D )

A.
B.
C.
D.

B2.已知
，其中
为虚数单位，则
( B )

A.
B. 1 C. 2 D. 3

B3.已知向量
若
，则
（B ）

A．
B．
C．
D．

C4.已知
则
等于( C )

A.
B.
C.