哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试

理科数学试卷

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，

满分150分，考试时间120分钟．

（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；

（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；

（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；

（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1．若复数
满足
，则
的共轭复数的虚部是（ ）

2．已知全集为
，集合
，
，则集合
（ ）

3．若幂函数
的图象不过原点，则
的取值是（ ）

4．设
，则
是
的（ ）

充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分又不必要条件

5．已知向量
，
，
，若
，则
（ ）

6．已知数列
满足
，
，则
（ ）

7．已知
为区域
内的任意一点，当该区域的面积为
时，
的最大值是（ ）

8．设
，
，
，则（ ）

9．数列
满足
，对任意的
都有
，则
( )

10．一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的表面积是（ ）

11．在直三棱柱
中，若
，
，
，
，
为
的中点，
为
的中点，
在线段
上，
.则异面直线
与
所成角的正弦值为（ ）

12．对于任意实数
，定义
，定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，若方程
恰有两个根，则
的取值范围是（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置

13．

14．在
中，角
的对边分别为
，若
，则
_______________

15．已知
，满足
，则
的取值范围________

16．已知三棱柱
的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为
，
，
，则此球的表面积等于_______________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）

极坐标系的极点为直角坐标系
的原点，极轴为
轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线
的极坐标方程为
.

（1）求
的直角坐标方程；

（2）直线
（
为参数）与曲线
交于
两点，与
轴交于
，求
．

18.（本小题满分12分）

在△
中，
所对的边分别为
，
,
．

（1）求
；

（2）若
,求
．

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前
项和
满足：
，数列
满足：对任意
有

（1）求数列
与数列
的通项公式；

（2）记
，数列
的前
项和为
，证明：当
时，

20.（本小题满分12分）

如图，
是直角梯形，
，
，
，

又

，
，直线
与直线
所成的角为

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）求三棱锥
的体积．

21.（本小题满分12分）

已知各项均不相等的等差数列
的前五项和
，且
成等比数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
为数列
的前
项和，若存在
，使得
成立．

求实数
的取值范围．

22.（本小题满分12分）

已知函数
．

(Ⅰ)当
时，求函数
的极值；

(Ⅱ)

时，讨论
的单调性；

(Ⅲ)若对任意的
恒有
成立，

求实数
的取值范围．

高三理科数学期中考试答案

选择：1-5 CDBAD，6-10 CABBA， 11-12 CA

填空：

解答题：17（1）由
得
，得直角坐标方程为
，即
；

（2）将
的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得
，点E对应的参数
，设点A，B对应的参数分别为
，则
，
，所以
．

18.（1）因为
，即
，

所以
，

即
，

得
．所以
,或
（不成立）．

即
, 得
，所以．
．

又因为
，则
，或
,（舍去） 得
．

（2）
,又
, 即
，

得

19.（1）当
时，
，所以
， 当
时，
，
又
成立

所以数列
是以
，公比
的等比数列，通项公式为
.由题意有

，得
.

当
时，

，验证首项满足，于是得
故数列
的通项公式为

．

（2） 证明：
=
=
，所以
=
，

错位相减得
=
，所以

，即

，

下证：当
时，
，令
=
，
=
=

当
时，
，即当
时，
单调减，又
，

所以当
时，
，即
，即当
时，

20.

(1)
,

(2)

21.（1）设
的公差为
，由已知得

即
，
，故

（2）

∵存在
，使得
成立

∴存在
，使得
成立,即
有解

而
，
时取等号