2015～2016学年第一学期高三第三次模拟考试

文科数学试题

一.选择题：（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.已知集合
，集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 若复数
，其中
是虚数单位，则复数
的模为( )

A．
B．
C．
D．2

3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( )

A．117 B．118 C．118．5 D．119．5

4. “函数y＝ax是增函数”是“log2a＞1”的(　　)

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5. 已知x＝log23－log2，y＝log0.5π，z＝0.9－1.1，则(　 　)

A．x＜y＜z B．z＜y＜x C．y＜z＜x D．y＜x＜z

6. 在
中，
是
的中点，
，点
在
上，且满足
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 若正实数
，
满足
1，则
的最小值是( )

A．3 B．4 　 C．5 　 D．6

8.执行右面的程序框图，输出的S的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

9. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体

的外接球的表面积为( )

A．
B．
C．
D．

10.偶函数
满足
,且在
时,
,
，则函数
与
图象交点的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

11. 过双曲线
的左焦点
作垂直于双曲线渐近线的直线m，以右焦点
为圆心，
为半径的圆和直线m相切，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

12．如图，在长方形ABCD中，AB=
，BC=1，E为线段DC上一动点，现将
AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为

14. 已知函数
，则
．

15. 在区间[-2，3]上任取一个数a，则关于x的方程
有根的概率为 .

16. 数列{an}满足a1=1，且对任意的正整数m，n都有am+n=am+an+mn，则
=

三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分） 己知函数
,

(1) 当
时，求函数
的最小值和最大值；

(2) 设
ABC的内角A，B，C的对应边分别为
、
、
，且
，f(C)=2，若向量
与向量
共线，求
，
的值．

18．（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班
人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部
人中随机抽取
人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

并求出：有多大把握认为喜爱打篮球与性别有关，说明你的理由；

（Ⅱ）若从该班不喜爱打篮球的男生中随机抽取3人调查，求其中某男生甲被选到的概率。

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5. 024

6.635

7.879

10.828



 (参考公式：
，其中
)

19. （本小题共12分）

如图所示，
平面
，
平面
，
，
，凸多面体
的体积为
，
为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点。

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的取值范围。

21. （本小题满分12分）已知函数
　

（Ⅰ）求证：
必有两个极值点α和β，一个是极大值点，—个是极小值点；

（Ⅱ）设
的极小值点为α，极大值点为β，
，求a、b的值；

四、选做题（本小题满分10分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑）

22、（满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知△
的两条角平分线AD和CE相交于H，

，F在
上，且
.

(1) 证明：B,D,H,E四点共圆；

(2) 证明：
平分
.

23．选修4-4：坐标系与参数方程

设圆
的极坐标方程为
，以极点为直角坐标系的原点，极轴为
轴正半轴，两坐标系长度单位一致，建立平面直角坐标系．过圆
上的一点
作垂直于
轴的直线
，设
与
轴交于点
，向量
．

（Ⅰ）求动点
的轨迹方程；

（Ⅱ）设点
，求
的最小值．

24．选修4-5：不等式选讲

已知
． （Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）对于任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围

三模文科数学答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

B

A

D

A

B

C

D

B

B

D



二．填空题

13. 10 14.1/4 15.2/5 16.

三．解答题

17. 解：

∵
，∴
，

∴
，从而

则
的最小值是
，最大值是2

（2）
，则
，

∵
，∴
， …8分 ∴
，解得

∵向量
与向量
共线，∴
，即
　　 ①

由余弦定理得，
，即
　　②

由①②解得
.

18

解：（1）列联表补充如下：

喜爱打篮球

不喜爱打篮球

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



∵K2=
≈8.333＞7.879

∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别有关．

（2）3/5



19．（Ⅰ）∵
平面
，
平面
，∴四边形
为梯形，且平面
平面
， ∵
，∴
， ……1分

∵平面
平面
，∴
平面
，

即
为四棱锥
的高，……2分

∵
，

∴
，……3分

作
的中点
，连接
，
，∴
为三角形
的中位线，∴
，
， ……5分

∴四边形
为平行四边形，∴
，又
平面
，∴
平面
．……7分

（Ⅱ）∵
，
为
的中点，

∴
，又
，∴
平面
， ……10分

∵
，∴
平面
，又
平面
，

∴平面
平面
． …… 12分

20. 1）由题意知
，

。又双曲线的焦点坐标为
，
，

椭圆的方程为
。

（2）若直线
的倾斜角为
，则
，

当直线
的倾斜角不为
时，直线
可设为
，

，由

设
，
，

，
，综上所述：范围为

21．

（Ⅰ）

令

有两实根不妨记为































极小



极大





所以，
有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点

（Ⅱ）
，由韦达定理得

，所以

22.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.

证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,

所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.

于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.

(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,

所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,

可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.

23、解：（1）由已知得N是坐标（m,0）设Q

点M在圆P=2上 由P=2得

∴

Q是轨迹方程为
………………………………………………5分

（Ⅱ）Q点的参数方程为

的最小值为
………………………………12分

24、解：（I）

或

解得
或

∴不等式解为 （－1，+
）………………………………5分

（II）

设
则

在（－3，0]上
单调递减 2

在（2，3）上
单调递增 2

∴在（－3，3）上 2

故
时 不等式
在（－3，3）上恒成立………………10分

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