湖南师大附中2016届高三月考试卷（二）

数学（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分）

1.已知复数
，则｜z｜＝（　　）

A. 4 　　　B.
　　　C. 2 　　　D. 1

【答案】C

【解析】因为z＝－2i，所以｜z｜＝2，故选C

2.已知向量
,则向量
可以为

A.（1，2）　　B．（1，一2)　 C.（2，1）　D.（2，一1）

【答案】A

【解析】设

3.某大学共有学生5 400人，其中专科生有1 500人，本科生有3 000人，研究生有900人．现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为180人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取

A. 55人，80人,45人　　B. 40人，100人，40人

C. 60人，60人，60人　D. 50人，100人,30人

【答案】D

【解析】专科生：本科生：研究生＝1500：3000：900＝5：10：3

抽取专科生人数：
＝50人，抽取本科生人数：
＝100人，

抽取研究生人数：
＝30人，故选D。

4.设Sn为等比数列｛an｝的前n项和，8a2+ a5=0，则
＝

A. 11 B. 5 C.一8 D.一11

【答案】D

【解析】

5.当n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A、30　　　　　B、14　　　C、8　　　D、6

【答案】B

【解析】当k＝1时，1≤3，是，进入循环S=2，k＝,2时，2≤3，是，进入循环S＝6，k＝3时

6.函数
的图象大致为：

【答案】D

【解析】

7.若
，且
，则sin 2
的值为（　　）

8.已知
是两个不同的平面，m， n是两条不同的直线，现给出下列命题：

①若
，则
； ②若

③若
　　　　　　　　　　 ④若
.

其中正确命题的个数是

A. 0 　B.1 　　C. 2 　　D. 3

9.如图，用一边长为
的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个纸巢，将体积为
的球放在纸巢上方，则球的最高点与纸巢底面的距离为

10．对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若

且
的上确界为

11、已知双曲线
与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若｜PF｜＝5，则双曲线的离心率e为

12、已知函数
的两个极值点分别为
，且
点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数
的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（　　）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.设集合

14.直线y＝x+ 2被圆M：
所截得的弦长为　　　　　

15一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213,134等）．若
，且a,b,c互不相同，任取一个三位自然数，则它为“有缘数”的概率是

16．如图，椭圆
,椭圆C的左、右焦

点分别为F1, F2，过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两

点，若｜PF1｜·｜PF2｜=6，则｜PM｜·｜PN｜的值为　　　　　

三、解答题：（70分）

17、（本是满分10分）在△ABC中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，且

(1)求cosB；

(2)若AB＝2，点D是线段AC中点，且
，若角B大于600，求△DBC的面积。

18、（本是满分10分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，点M在线段EC上。

（1）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；

（2）当平面BDN与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时，求棱锥M－BDE的体积。

19、（本题满分12分）

我校为“湖南省中学生数学竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰，若现在500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图所示。

（1）根据频率直方图，估算这500名学生测试成绩的众数以及有参赛资格的人数；

（2）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为
，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望。

20、（本题满分　12分）已知数列
的前n项和

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前n项和为Tn，写出Tn关于n的表达式，并求满足
时n的取值范围。

21、（本题满分　12分）如图，已知点F（1,0），直线
为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且

（1）求动点P的轨迹
的方程；

（2）过点F的直线交轨迹
于A，B两点，交直线l于点M，已知
，试判断
是否为定值，并说明理由。

22.（本题满分12分）

已知函数f (x) ＝
（其中c是非零实常数）的图像在点（一2, f(一2))处的切线方程为16 x+ y＋20 ＝0．

（1)求实数a，b的值；

(2)当c> 0时，求函数f (x)在区间［－1,2］上的最大值；

(3)曲线y=f(x)上是否存在两点M,N，使得△MON（O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上？如果存在，求实数c的取值范围；如果不存在，请说明理由．

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