2015-2016年度第一学期

高三文科数学期中考试卷

第I卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(?RB)∩A＝(　 　)

A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1

2.已知
是虚数单位，则复数
的模为

A.1 B.2 C.
D.5

3.下列函数中，在定义域上既是减函数又是奇函数的是

A.
B.
C.
D.

4. 一元二次方程
有实数解的一个必要不充分条件为

A.
B .
C.
D.

5. 如右下图，在
中，
,P是BN上的一点，若

,则实数
的值为

A.3 B. 1 C.
D.

6. 函数
为常数，
的部分图象如图所示，则
=

A.
B.
C. 0 D.

7.已知等差数列
的前
项和为
,
，则使
取得最小值时
的值为

A. 2 B. 4 C. 5 D. 7

8. 巳知点
在ΔABC所包围的阴影区域内(包含边界),

若B(3,
)是使得
取得最大值的最优解,则

实数
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

9. 定义
是
中的最小值，执行程序框图（如下图），则输出的结果是

A.
B.
C.
D.

（第10题图）

（第9题图）

10.已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如上图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为

A.
B.
C.
D.

11.设
分别为双曲线
的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且
，
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为

A.
B.
C.
D.

12. [x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]=2，[-4.1] =-5，已知f(x)=x-[x](x∈R),g(x)=log4(x-1),则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第II卷(非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题?第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题?第：24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 等比数列{
}的前
项和为
，已知对任意的
，点
均在函数
且
均为常数)的图像上，则
的值是

14. 已知点
在直线
上移动，当
取得最小值时，过点
引圆
的切线，则此切线段的长度为_______

15、天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行

试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0?9之间随机整数的20组如下：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为________

16. 已知函数
，其中
，若存在唯一的整数
，使得

，则
的取值范围是

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分）

在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
.已知
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的面积
.

18. (本小题满分12分）

四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图

是等边三角形，俯视图是直角梯形.

若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动，

是否总有BF丄CM，请说明理由.

(II)求三棱锥
的高.

19. (本小题满分12分）

有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，

已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通

过这两条公路所用的时间互不影响.

所用的时间（天数）

10

11

12

13



通过公路1的频数

20

40

20

20



通过公路2的频数

10

40

40

10



据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：

(I)为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆.

(i) 若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；

(ii)若从（i)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率.

(II)假设汽车A只能在约定日期(某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的道路.

20. (本小题满分12分）

如图，椭圆
的一个焦点是
，O为坐标原点。

(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，

求椭圆的方程；

(Ⅱ)设过点F的直线
交椭圆于A、B两点。若直线
绕点F

任意转动，恒有
，求
的取值范围。

21. (本小题满分12分）

已知函数
（
为自然对数的底数).

(I )若函数
有极值，求实数
的取值范围；

(II)若
，求证：当
时，

请考生在第22－24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲

已知Δ
中
，
为Δ
外接圆劣弧
上的点(不与点
重合），延长
至
，延长
交
的延长线于
.

(I )求证：
；

(II)求证：

23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，取原点为极点,
轴正半轴为极

轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为
，

直线
的参数方程为：
(
为参数）

(I )求曲线
的直角坐标方程，曲线
的普通方程.

(II)先将曲线
上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍得到曲线
，
为曲线
上一动点，求点
到直线
距离的最小值，

并求出相应的
点的坐标.

24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲

解不等式：

高三数学期中考试(文科答案)

一、选择题：

CCDDC ACACD BB

二、填空题：

13．-1 14．
15． 0.25 16．

三、解答题

17. (本小题满分12分)

解：（I）由正弦定理，设

则
……………………..2分

所以
……………………………3分

即
，

化简可得
………………………………..5分

又
，

所以

因此
…………………………………………..6分

（II）由
得
………………………………7分

由余弦定理

解得a=1……………………………………………9分

因此c=2 ………………………….10分

又因为

所以
………………………………………..11分

因此
………………………..12分

18．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）总有
理由如下:

取
的中点
，连接
，

由俯视图可知，

，

，

所以
……………………2分

又
,所以
面
，

故
.

因为
是
的中点，所以
.…………………4分

又
故
面
，

面
，所以
. ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

，
,

又在正
ABC中，
,

所以
, ……………………8分

在
中，
,

在直角梯形
中，
,

在
中，
,

在
中，可求
, ……10分

设三棱锥
的高为
，

则
,

又
,

可得
，解得
.

所以，三棱锥
的高为
. ……………………12分

19.解：（Ⅰ）（i）公路1抽取
辆汽车,

公路2抽取
辆汽车.……………………2分

(ii) 通过公路1的两辆汽车分别用
表示，通过公路2的4辆汽车分别用
表示，

任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，………………4分

其中至少有1辆经过公路1的有9种，

所以至少有1辆经过1号公路的概率
.…………………6分

　（Ⅱ）频率分布表，如下：

所用时间

10

11

12

13



公路1的频率

0.2

0.4

0.2

0.2



公路2的频率

0.1

0.4

0.4

0.1



………………………………8分

设
分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；
分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙.

　,　
.

∴　汽车A应选择公路1. …………………………10分

　,　
,

∴　汽车B应选择公路2.…………………………12分

20. 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以
, 即

解得
，

因此，椭圆方程为
……………………..4分

(Ⅱ)设

(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

…………………….5分

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：
，代入

整理得

所以
………………………….7分

因为恒有
，所以
AOB恒为钝角.

即
恒成立.

又
,所以
对m
R恒成立，

即
对m
R恒成立. ………………………………..9分

当m
R时，
最小值为0，所以
.

, ………………………………….10分

因为a>0,b>0,所以
,即
,

解得a>
或a<
(舍去)，即a>
,

综合（i）(ii)，a的取值范围为（
，+
）……………………………..12分

21.解：(Ⅰ) 由
，可得
，…………….2分

依题意，需方程
在
上有两个不等实根，

则：
，…………………4分

解得：
. ……………………5分

(Ⅱ)若
，
,

∴
，

设
，

，

, ………………………7分

令
, 得
.

当
时，
，
单调递减；

当
时，
，
单调递增；

∴
,

∴
,…………………9分

∵
，∴
，

∴
在
上单调递增， ∵
，

∴
， ……………………………11分

∵
， ∴
，

∴
，

即
. ……………………12分

请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）

(Ⅰ)证明：
、
、
、
四点共圆

.………………2分

且
,

,……………4分

.………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得
,又
,

所以
与
相似,

，…………7分

又
,

，

根据割线定理得
，……………9分

.……………10分

23. （本小题满分10分）

(Ⅰ)
,
,

曲线
的直角方程为
.………………2分

曲线
的普通方程为
.…………………4分

(Ⅱ)曲线
的方程为
，……………………6分

设点
(
)， 点
到直线的距离为
=
，………………8分

由三角函数的性质知，当
=
时，
取得最小值
，

此时
, 所以
点坐标为
.……………………10分

24. （本小题满分10分）

解：当
<0,即
时，不等式成立；……………3分

当
>0,即
时，
.………………5分

,……………7分

解得
，

所以
.……………………8分

原不等式的解集为
………………10分

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