2016届“六校联盟”高三第二次联考

文科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合
，集合
，
，则集合
=

A．
B．
C．
D．

2．已知
，则
的值为

A．
　　　　　B．
　　　　　C．
　　　　　D．

3．设
、
为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且
，有如下的两个命题：①若
∥
，则l∥m；②若
，则
⊥
．那么

A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题 D．①②都是假命题

4．已知
、
，若向量
与
（
为坐标原点）的夹角为锐角，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

5．各项都是正数的等比数列{
}，若
，
，
成等差数列，则
的值为

A．2　　　　　B．2或
　　　　　C．
　　　　　D．
或

6．已知函数
是偶函数，当
时，
恒成立，设
，
，
，则a，b，c的大小关系为

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
的图象上相邻两个最高点的距离为
．若将函数
的图象向左平移
个单位长度后，所得图象关于
轴对称．则函数
的解析式为

A．
B．

C．
　　　　　D．
8．给出如下四个判断：

①若“
或
”为假命题，则
、
中至多有一个为假命题；

②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

③对命题“
”的否定是“
”；

④在
的充分不必要条件． 其中不正确的判断的个数是

A．3 B．2 C．1 D．0

9．已知点
为
所在平面上的一点，且
，其中
为实数，

若点
落在
的内部，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

11．定义运算法则如下：
；若
，
，则

A．2 　　 B．3 　　 C．4 　　 D．5

12．已知数列
满足
，
，若
成立，则
在
内的可能值有

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知
，若
，则
　　　　　　　．

14．若曲线
处的切线平行于直线
的坐标是_______．

15．若实数
满足
，且
的最大值等于25，则正实数
　　　　　　　　．

16．2015年10月4日凌晨3点，代号为“彩虹”的台风中心位于A港口的东南方向B处，且台风中心B与A港口的距离为
千米。预计台风中心将以
千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心
千米的范围都会受到台风影响，则A港口从受到台风影响到影响结束，将持续 　　 小时.

三、解答题：

第17到21题为必做题，从第22、23、24三个小题中选做一题，满分70分。

17．（本小题满分12分）

在锐角
中，
为角
所对的三边，设向量
，
，且
与
的夹角为
．

（1）求角
的值；

（2）若
，设内角
为
，
的周长为
，求
的最大值.

18．（本小题满分12分）

已知：数列
满足
，
．

（1）求数列
的通项；

（2）设
，求数列
的前n项和
．

19．（本小题满分12分）

如图，在长方体
中，
，
为线段
上的动点，

（1）当
为
中点时，求证：
平面
；

（2）求证：无论
在何处，三棱锥
的体积恒为定值；并求出这个定值.

20．（本小题满分12分）

已知函数

为奇函数．

（1）求实数
的值；

（2）判断函数
的单调性；

（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

设函数
.

（1）当
（
为自然对数的底数）时，求
的最小值；

（2）记
，试讨论是否存在
，使得
成立．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知
是圆
的直径，直线
与圆
相切于点
，
平分
，
与圆
相交于点
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求
的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：
．

（1）直线
的参数方程化为极坐标方程；

（2）求直线
与曲线
交点的极坐标（
）．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（1）求不等式
的解集；

（2）若方程
有三个不同的解，求
的取值范围．

参考答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

B

B

A

C

D

C

B

A

A

C

D



13．
14．
15．1 16．15

17. 解：（1）由题知：
，且
与
的夹角为
　……………………1分

　∴　
，即
…………………3分

　　 又∵
，　　
　　　　 ……………………………4分

　　　∴
　　故
　　　　　 　………………………………5分

（2）

同理：
………………………………7分

………………9分

， ∴
∴　
………………11分

………………………………12分

18．解：（1）当
时，

两式作差得：
　　　∴　
　…………………4分

当
时，
也满足上式．∴
　………………6分

（2）
　　　　　　　 ………………………7分

∴　

……………………………8分

…………………11分

∴　
……………………………12分

19．证明：（1） 在长方体
中，
平面

又
平面
∴
…………………2分

∵

四边形
为正方形，

且
为对角线
的中点，

∴
…………4分

又∵


，

平面

平面

∴
平面
　……………6分

（2）在长方体
中，

，

∵
，
为线段
上的点 　

∴三角形
的面积为定值

即
……………………………8分

又∵
，
平面
，
平面
　

∴
平面

∴点
到平面
的距离
为定值

由(1)知：
为
的中点时，
平面
，即
　………10分

∴三棱锥
的体积为定值，即
　

也即无论
在线段
上的何处，三棱锥
的体积恒为定值
　………12分

20．解：（1）∵函数
为奇函数，　

∴
， ∴
　　　　　　　………………………2分

当
时，
＝
.

＝
＝－
＝－
，
为奇函数．

所以，
　　　 　　 …………………………………………4分

（2）由（1）知：
． ∴　

所以，函数
为R上的增函数. 　　………………………………………6分

（也可以用定义证明函数
为R上的增函数）

（3）由（2）知：
为R上的增函数，且
是奇函数．

从而不等式：
等价于

， 即

∴　
对任意的
恒成立，　 …………………………8分

记
，则
在
上的最小值大于零．

当
即
时，
在
上单调递增，