2016届六校高三第二次联考

理科数学试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合M={
}，则集合M的真子集个数为

A．
B．
C．
D．

2．已知向量
，
，若
与
平行，则实数
的值是

A．
B．
C．
D．

3．对任意等比数列
，下列说法一定正确的是

A．
成等比数列 B．
成等比数列

C．
成等比数列 D．
成等比数列

4．下列选项叙述错误的是

A．命题“若
,则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．若命题P：
则
　　

C．若
为真命题，则p,q均为真命题

D．“
”是“
”的充分不必要条件

5．已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．若
,则下列结论不正确的是(　　)

A．
B．

C．
D．

7． 下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是

A．
B．

C．
D．

8．已知
表示等差数列
的前
项和，且
，那么

A．
B．
C．
D．

9．函数
的部分图象如图所示，将
的图象向右平移
个单位后得到函数
的图象. 则函数
的单调增区间为（ ）

A．
B.

C.
D.

10．在四边形
中，
，已知
的夹角为
，
，则

A．
B.
C.
D.

11．设
，且
，则
的大小关系是

A.
B.
C.
D.

12. 函数
是定义在
上的奇函数, 当
时,
，

则函数
在
上的所有零点之和为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．

13．由直线
，
，曲线
及
轴所围成的图形的面积是 ．

14．设等差数列
的前n项和为
，
且
，则
．

15．定义在
上的函数
满足

，则
的值为 ．

16．已知
是
的外心，
，若
且
，

则
的面积为 .

三、解答题: 本大题包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题 ，第22题~第24题为选做题．

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

设
的内角
所对的边分别为
，且
，
，
.

（1）求
的值；

（2）求
的值．

18.（本小题满分12分）

某工厂2016年计划生产A、B两种不同产品，产品总数不超过
件，生产产品的总费用不超过
万元．A、B两个产品的生产成本分别为每件
元和每件
元,假定该工厂生产的A、B两种产品都能销售出去，A、B两种产品每件能给公司带来的收益分别为
万元和
万元．问该工厂如何分配A、B两种产品的生产数量，才能使工厂的收益最大？最大收益是多少万元？

19.（本小题满分12分）

已知单调递增的等比数列
满足：
，且
是
与
的等差中项．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，
，求使
成立的正整数
的最小值．

20.（本小题满分12分）

已知函数
满足：
，
．

（1）求
的值，并探究是否存在常数
,使得对函数
在定义域内的任意
，都有
成立；

（2）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

21.（本小题满分12分）

已知函数
，
的图象在点
处的切线方程为
.

（1）设
，求函数
的单调区间；

（2）设
，如果当
，且
时，函数
的图象恒在函数
的图象的上方，求
的取值范围．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．(本小题满分10分) 选修4—1：几何证明选讲

如图，
为直角三角形，
，以
为直径的圆交
于点
，点
是
边的中点，连
交圆
于点
.

（1）求证：
四点共圆；

（2）求证：
.

23．(本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线
的参数方程为
(
为参数，
)，曲线
的极坐标方程为
．

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）设直线
与曲线
相交于
、
两点，当
变化时，求
的最小值．

24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若二次函数
与函数
的图象恒有公共点，求实数
的取值范围.

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

D

C

B

D

C

B

A

A

A

D





13.
14.
15.
16.
或

17.（本小题满分12分）

解：(1)由余弦定理得：
， …………………… 2分

即
. ∴
，∴
. ………………… 4分

由
，解得
. …………………… 6分

(2)在
中，
，∴
. ………… 7分由正弦定理得：
， ∴
. … ………… 8分

又
，∴
，∴
， …………………… 10分

∴
. …………… 12分

18.（本小题满分12分）

解：设工厂生产A、B两种产品分别为
件和
件,总收益为
元，

由题意得
， …………………… 3分

目标函数
. …………………… 4分

二元一次不等式组等价于
.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分. ……………… 7分

作直线
,即
,

平移直线
，从图中可知,当直线过
点时，目标函数取得最大值.……………… 9分

联立
, 解得
. ……………… 10分

所以点的坐标为
,此时
. …………… 11分

所以该工厂生产A产品100件, 生产B产品200件时收益最大，最大收益是70万元. ……………… 12分

19.（本小题满分12分）

解：（1）设等比数列
的首项为
，公比为

依题意，有
， ………………1分

代入
，可得
，
，

所以
解得
或
………………3分

又数列
单调递增，所以
，
，

数列
的通项公式为
………………5分

（2）因为
， …………………6分

所以
，
，

两式相减，得
…………………10分

即
，即

易知：当
时，
，当
时，

故使
成立的正整数
的最小值为5. …………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）由
，得
，解得
， …………………2分

所以
（
）.

假设存在常数
符合要求，即
，
成立.

特别当
时有
，即
，解得
. …………………4分

下面证明
，
恒成立. 事实上，当
时，则

.

所以存在常数
,满足题设要求. …………………6分

方法2：假设存在常数
符合要求，即
，
成立.则
， …………………3分

即
，

变形得，
…………………5分

整理得，
.

所以存在常数
,满足题设要求. …………………6分

（2）问题即为
对
恒成立，

即
对
恒成立，

故必有
或
． …………………7分

在
或
下，问题化为
对
恒成立，

即
对
恒成立，

① 当
时，
或
， …………………8分

② 当
时，
且
对
恒成立，

对于
对
恒成立，等价于
，

令
，
，则
，
，

，
递增，
，

即
，结合
或
，
…………………10分

对于
对
恒成立，等价于

令
，
，则
，
，

，
递减，
，

，结合
或
，
，

综上，实数
的取值范围为
…………………12分

21.（本小题满分12分）

解：(1)
，
. ……………………1分

由题意知，
，即
， 解得
. ………………………3分

所以
，因此
，
.

因为