2015-2016学年度第一学期期中两校联考

理科数学试题（命题潮州金中李惠音）

一．选择题（共12小题，满分60分）

1.已知全集
，集合
，则
（ ）

B.
C.
D.

2.在复平面内复数
对应的点在第一象限，则实数
的取值可以为（ ）

A.0 B.1 C.-1 D.2

3.设命题
“任意
”，则非
为（ ）

存在
B.存在

C.任意
D.任意

8

7

8











9

0

1

2

3

3

4



4.若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方差分别是（ ）

A.91、 5.5 B.91、 5

C.92、 5.5 D.92、 5

5. △
中,
,
则△
的面积为（ ）

A．3 B．
C．6 D．4

6．如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入
，
，
，

的值依次是
，
，
，
，则输出
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的图像恒过定点A，若

点A在直线
上，其中
则
的最小

值为( )

A.2+
B.2-
C.2 D.

8．函数
（e是自然对数的底数）的部分图象大致是( )

A．
B．
C．
D．

9.某几何体的三视图（单位：
）如图所示，其中

侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的

体积是（ ）

B.

C.
D.

10．函数
的图像向左平移个单位后关于原点对称，则函数
在区间
上的最小值为(　　)

A．－　　　 B．－　　 　C．　　　 D．

11.设函数
，若函数
为定义在
上的奇函数，其导函数为
，对任意实数
满足
，则不等式
的解集是（ ）

B.
C.
D.

12．已知抛物线
与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（ ）

A．
B.
C.
D.

二．填空题（共4小题，满分20分）

13.若
则
=

14.在数列
中，
，则通项

15.设
为单位向量，非零向量
，若
的夹角为
，则

的最大值等于________

16．已知函数
，方程 f (x) ＝ax恰有两个不同的实根，则实数
的取值范围是

三．解答题（共6小题，满分70分）

17．（本小题满分12 分）

已知数列
是等差数列，且

⑴求
的通项公式

⑵若
，求数列
的前
项和

18．（本小题满分12 分）

某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物.

⑴求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；

⑵用
分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望
.

19．（本小题满分12 分）

如图，
为矩形，
为梯形，

平面

平面
，
，
.

（1）若
为
中点，求证：
∥平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的大小．

20．（本小题满分12 分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线
的准线方程为
过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线
过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.

(1)求抛物线的方程;

(2)求证:

21．（本小题满分12 分）

已知函数
．

（1）当
时，求
的极大值；

（2）若在函数
的定义域内存在区间
，使得该函数在区间
上为减函数，求实数
的取值范围；

（3）当
时，若曲线
：
在点
处的切线
与曲线
有且只有一个公共点，求
的值或取值范围．

请考生在（22）.（23）.（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．

22．(本小题满分10 分)选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，

∠C=β．

（1）当α=36°时，求β的度数；

（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．

（3）若点C平分优弧AB，且
，试求α的度数.

23．(本小题满分10 分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线
，曲线

（1）写出曲线
的参数方程与曲线
的普通方程；

（2）设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最大值，并求此时点
的坐标．

24．(本小题满分10 分)选修4—5：不等式选讲

设
.

（1）求
的解集;

（2）若不等式
，对任意实数
恒成立，求实数x的取值范围.

2015-2016学年度第一学期期中两校联考理科数学试题答案

1-12：CABA DDAC BACA

13.
14.
15.
16.

17.解：（1）由于
为等差数列，若设其公差为
，则
，

，
，解得
， ………4分

于是
，整理得
； ………6分

（2）由（1）得
， ………8分

所以
. ………12分

18.解：（1）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为
，去京东商城购物的概率为
…2分

设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件
，

则
.

这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率
………5分

（2）易知
的所有可能取值为
. ………6分

,

,[:]

. ………9分

所以
的分布列是

0

3

4



P









随机变量ξ的数学期望
. ………12分

19.解：（1）证明：连结
,交
与
,连结
，

中，
分别为两腰
的中点 ∴
………2分

因为
面
,又
面
，所以
平面
………4分

（2）解法一：设平面
与
所成锐二面角的大小为
，以
为空间坐标系的原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系则

………6分

设平面
的单位法向量为
，则可设
………7分

设面
的法向量
，应有

即：
解得：
，所以
………10分

∴
………11分

所以平面
与
所成锐二面角为60°……12分

解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，

连结HC ………6分

∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PG，又CD∩DH=D∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC ………8分

∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ………9分

在
△
中，
，
可以计算

……10分

在
△
中，
………11分

所以平面
与
所成锐二面角为60° ………12分

20.解：（1）由题设知，
，即

所以抛物线的方程为
………2分

（2）因为函数
的导函数为
，设
，

则直线
的方程为
， ………4分

因为点
在直线
上，所以
．

联立
解得
． …………5分

所以直线
的方程为
． ……… 6分

设直线
方程为
，由
，得
，

所以
． ………… 8分

由
，得
． ………… 9分

, …12分

21解：（1）当
时，
，其定义域
．

又
．

∵
，故由
，得
． ………… 1分

∴ 当
时，
，
递增；当
，
，
递减．

因此当
时，
取得极大值
； …… 2分

（2）（法一）
，即
在
上有解．

当
显然成立； ………… 4分

当
时，由于函数
的图像的对称轴
，故须且

只须
，即
，故
． ………… 5分

综上所述得
，故实数
的取值范围为
； ………… 6分

（若
在
上有解，最后有检验也是可以的）

（法二）
，即
在
上有解．

即
在
能成立，

即