2015－2016学年度第一学期期中两校联考

文科数学试卷

命题人：许丹敏 审核人：杨敏

注意事项：

1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己 的姓名、准考证号码填写在答题卡上.

2．回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.

3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设i是虚数单位，复数
,则｜z｜＝（ ）

A.1 　　　　　B.
　　　　C.
　　　 D. 2

2．命题
为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．
B．
C．
D．

3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的
的比值
＝（ ）

A.1 　　　B.
　　　　C.
　　　D.

4．已知等差数列
满足
则
的值为(　　)

A．8 B．9 C．10 D．11

5. 在
中，若

则
的面积为( )

A
B
C
D

6.若直线
始终平分圆
的周长，则
的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．8 D．10

7．阅读右边的程序框图，输出的结果s的值为( )

A．0 B．
C．
D．

8.等比数列
满足
且

则当
时，
( )

A.
B.
C.
D.

9.已知两圆
，动圆在圆
内部且和圆
相内切，和圆
相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)

A.
B.
C.
D.

10.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．
　 B．

C．
D．

11.已知函数
满足
，且
在
上是减函数，则
的一个可能值是（ ）

A
B
C
D

12. 已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，

若
，则
的大小关系正确的是( )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知平面向量
，且
，则

14．函数
的单调递减区间为

15．若变量x，y满足
，则
的最大值为 .

16.已知函数
,若方程
有4个实数根，

则实数
的取值范围为 ．

三、解答题：共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别是
.已知
.

(1)求角
；

(2)若
, 求边长
的值.

18. （本小题满分12分）

已知数列
满足
，其中
.

(1)设
，求证：数列
是等差数列，并求出
的通项公式；

(2)设
，数列
的前n项和为
，是否存在正整数
，使得
对

于
恒成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．

19. （本小题满分12分）

如图, 四棱锥
，侧面
是边长为4的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.

(1)求证：

(2)求点
到平面
的距离.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆
的离心率
，短轴长为

(1)求椭圆
的方程；

(2)过圆
上任意一点
作椭圆
的两条切线，若切线都存在斜率，判断两切线斜率之积是否为定值，若是，求出定值，若不是定值，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数
，(
为实数)．

(1)当
＝5时，求函数
在
处的切线方程；

（2）若存在两不等实根
,使方程
成立，求实数
的取值范围.

选做题：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

作答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.

如图，过圆
外一点
作一条直线与圆
交于
两点，且
,

作直线
与圆
相切于点
，连接
交
于点
,己知圆
的

半径为2，
.

(1)求
的长.

(2)求证：
.

23. (本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程选讲.

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数)，以原点
为极点，以
轴正 半 轴为 极 轴，建立极坐 标 系，曲 线
的极坐标方程为

(1) 求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程.

(2) 设
为曲线
上的动点，求点
到
上点的距离的最小值，并求此时点
坐标.

24. (本小题满分10分）选修4－5:不等式选讲.

设函数
.

(1)求证：当
时，不等式
成立.

⑵关于
的不等式
在R上恒成立，求实数
的最大值.

2015－2016学年度第一学期期中两校联考

文科数学答题卷

题号

选择题

填空题

第17题

第18题

第19题

第20题

第21题

选做题

总分



得分























一 选择题(每小题5分，共60分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案





























二填空题(每小题5分，共20分)

13._____________ 14. ____________ 15. ______ 16.

三 解答题(17~21题每题12分，选做题只做一题，10分，共70分)

17（12分）

18.（12分）

19（12分）

20（12分）

21（12分）

选做题（10分）

2015－2016学年度第一学期期中两校联考

文科数学试卷答案

1~12

13. (－2，1) 14. (2，4) 15. 8 16.

17. 解：(1)由已知及正弦定理得：

，

，

∴
. ……4分

又
，得
. 又
，∴
. ……6分

(2)
∵

∴
,∴
……8分

由余弦定理
得
……10分

由上解得
……12分

18. 解：(1)∵

＝
(常数)，

∴数列{bn}是等差数列． ……3分

∵
＝1，∴
＝2， 因此
＝2＋(n－1)×2＝2n，

由
得
. ……5分

(2)由
，
得
， ……6分

∴

∴
……8分

依题意要使
对于
恒成立，只需
，即
……10分

解得
或
，又
为正整数，所以
的最小值为3. ……12分

19. 解：?（Ⅰ）证法一：取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC
平面POC，OP
平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC
平面POC，所以PC⊥AD． ……6分证法二：连结AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，又AM∩DM=M，AM
平面AMD，DM
平面AMD，所以PC⊥平面AMD，又AD
平面AMD，所以PC⊥AD． ……6分（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO
平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ACD的高．在Rt△POC中，PO=OC=
，PC=

在△PAC中，PA=AC=4，PC=
，边PC上的高AM=
……8分

所以△PAC的面积S△PAC=

又△ACD的面积S△ACD =
……10分 设点D到平面PAC的距离为h，由VD-PAC=VP-ACD得
得h=

所以点D到平面PAM的距离为
……12分20. 解：
. 由题意得

又
，∴
.

∴椭圆
的方程为
. ……4分(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆
的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)， ……5分整理得y＝kx＋y0－kx0，

联立直线l0与椭圆
的方程得

消去y得2[kx＋(y0－kx0)]2＋3x2－6＝0， ……7分

整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，

∵l0与椭圆
相切，

∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，

整理得(2－x)k2＋2x0y0k－(y－3)＝0， ……9分设满足题意的椭圆
的两条切线的斜率分别为k1，k2，

则k1k2＝－.

∵点P在圆O