绵阳市高中2016届高三第一次（11月）诊断性考试

数学理试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．第I卷.1至2页，第II卷2至4

页．共4页．满分150分．考试时间120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在

本试题卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．

第I卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

第I卷共10小题．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的．

1．集合S={x｜｜x-4｜<2，x
N＊｝，T＝｛4，7，8｝，则S U T＝

(A){4} 　　　　　　　　(B){3，5，7，8}

(C) {3， 4, 5，7，8}　 (D) {3，4, 4, 5, 7, 8}

2．命题“
”的否定为

(A)
　(B)

(C)
　(D)

3．己知幂函数过点（2，
），则当x=8时的函数值是

（A）2
　（B）
2
　（C）2　　　（D）64

4.若
R,己知P：
成等比数列；Q: b =
．则P是Q的

（A）充分不必要条件　　（B）必要不充分条件

（C）充要条件　　　　　（D）既不充分也不必要条件

5.下列四个函数中，最小正周期为
，且关于直线x＝一
对称的函数是

（A）
　　　（B）

（C）
　　　　（D）

6．在等差数列｛
｝中，若a4＋a9＋al4＝36，则
＝

（A）3　　（B）6　　（C）12　　　（D）24

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是
，若
，

则cosC＝

（A）
　　　（B）
　　　（C）一
　　　（D）一

8．若实数x，y满足不等式组
，且
的最大值为3，则实数m=

（A）一1 （B）
（C）l （D）2

9．设函数y＝f（x），x
R满足f（x＋l）＝f（x一l），且当x
（－1，1］时，f（x）＝1一x2，

函数g（x）＝
，则h（x）＝f（x）一g（x）在区间［－6，9］内的零点个数是

（A）15　　（B）14　　（C）13．（D）12

10．直角△ABC的三个顶点都在单位圆
上，点M（
，
），则｜
｜的最大值是

（A）
＋l　　（B）
＋2　（C）
＋1　　（D）
＋2

第II卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答．作图题可

先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷、草稿纸上无效．

第II卷共11小题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，

11、·函数
的定义域为　　　　　　

12，式子
的值是　　　　　　．

13·已知函数
其中a＞0，
，若对任意的
，恒有
＞0，则实数a的取值范围　　　　　　．

14.二次函数
+2bx+c的导函数为
，已知
，且对任意实数x，有
，

则
的最小值为　　　　　　．

1 5．设集合M是实数集R的一个子集，如果点
R满足：对任意
＞0，都存在x
M，

使得0＜
；，称x0为集合M的一个“聚点”．若有集合：

①有理数集；　　　　　　②

③
　　④

其中以0为“聚点”的集合是　　　　　　．（写出所有符合题意的结论序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量

（1)若
，求角
的值；

（2）若
，求cos2
的值．

17、（本小题满分12分）

已知数列{
}的首项a1＝1，且an+1＝2an＋

（1)试问数列{
＋
}是否为等比数列？若是，请求出数列{
}的通项公式；若不是，

请说，明理由；

(2)当
＝1时，记
，求数列{
}的前n项和Sn

18．（本小题满分12分）

某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐资奖学金共50万元妥该企业家计划

从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的

贫困大学生每年净增a人。·

（l）当a＝10时，在计划时间内，每年的受捐贫困大学生人均获得的奖学金是否超过

0.8万元？请说明理由．

（2）为使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过多少人？

19．（本小题满分12分）

已知如图，在Rt△ABC中，∠A＝60°，AB＝6，点D、E是斜边AB上两点．

（l）当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求
的值；

（2）当点D、E在线段AB上运动时，且∠DCE＝30°，设∠ACD＝θ，

试用θ表示△DCE的面积S，并求S的取值范围．

20：（本小题满分13分）

已知f（x）＝
＋cx－1的导函数为
，且不等式
≥0的解集为

｛x｜一2≤x≤1｝．

（1）若函数f（x）的极小值为一11，求实数a的值；·

（2）当x
［－3，0］时，关于x的方程f（x）一ma＋1＝0有唯一实数解，求实数m的取

值范围．

21．（本小题满分14分）

己知函数f（x）＝in（x＋l）一x（x＞一l）·

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若k
Z，且f（x一1）＋x＞
对任意x＞1恒成立，求k的最大值；

　（3）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得
成立？

请说明理由．

绵阳市高2013级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CDADD BACBC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．
13．a≥2 14．2 15．①③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．解 ：（1）∵ m⊥n，

∴ m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，

即-cos2α+sinα-sin2α=0． ……………………………………………………3分

由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，

∴
，k∈Z.…………………………………………………………6分

（2） ∵ m-n=(2cosα，1-2sinα)，

∴ |m-n|=

， ………………………………………………………9分

∴ 5-4sinα=3，即得
，

∴
．……………………………………………………12分

17．解：（1）由已知an+1=2an+λ，可得an+1+λ=2(an+λ)．

∵ a1=1，

当a1+λ=0，即λ=-1时，an+λ=0，此时{an+λ}不是等比等列． …………3分

当a1+λ≠0，即λ≠-1时，
（常数）．

此时，数列
是以
为首项，2为公比的等比数列，

∴
，于是
． ………………………6分

（2）当λ=1时，an=2n-1，

∴
. ……………………………………………………………………7分

∴
，

两边同乘以
，得

两式相减得

，

∴
．…………………………………………………………12分

18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn．

则an =80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2分

∴ 当a=10时，an=10n+70，

∴
，

解得：n>8． ……………………………………………………………………5分

即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分

（2）由题意：
，

即
，………………………………………………8分

整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0，

即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，

化简得80-5a>0，

解得a<16，……………………………………………………………………11分

∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．

……………………………………………12分

19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60o=
，
.

∵
，

∴

=9+2×3×cos120o

=6.…………………………………………………………………4分

（2）在△ACD中，∠ADC=180o-∠A-∠DCA=120o-θ，

由正弦定理可得
，即
.

………………………………………5分

在△AEC中，∠ACE=θ+30o，∠AEC=180o-60o-(θ+30o)=90o-θ，

由正弦定理可得：
，即
， …6分

∴

， …………………7分

令f(θ)=sin(120o-θ)cosθ，0o≤θ≤60o，

∵ f(θ)=(sin120ocosθ-cos120osinθ)cosθ

，………………………………………………10分

由0o≤θ≤60o，知60o≤2θ+60o≤180o，

∴ 0≤sin(2θ+60o)≤1，

∴
≤f(θ)≤
，

∴
≤
≤
，

∴
≤
≤
．……………………………………………12分

20．解：（1）
，

由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，

∴ a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1．

于是
，
，

得b=3a，c=-6a. ………………………………………………………………2分

∵ 3ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>1}，

∴ f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．

∴ 当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，

把b=3a，c=-6a代入得-8a+6a+12a-1=-11，

解得a=-1.………………………………………………………………………5分

（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得
，

即
．

∴
．…………………………………………………………7分

令
，

∴
．

列表如下：

x

(-∞，-2)

-2

(-2，1)

1

(1，+∞)





+

0

-

0

+



g(x)

↗

极大值

↘

极小值

↗



∴ g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分

又∵
，g(-2)=10，g(0)=0，

由题意，知直线y=m与曲线
仅有一个交点，

于是m=10或0

21．解：（1）
，

∴当x∈(-1，0)时，
，即f(x)在(-1，0)上是增函数，

当x∈(0，+∞)时，
，即f(x)在(0，+∞)上是减函数．

∴ f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分

（2）由f(x-1)+x>k
变形得
，

整理得xlnx+x-kx+3k>0，

令g(x)=xlnx+x-kx+3k，则

∵ x>1，

∴ lnx>0

若k≤2时，
恒成立，即g(x)在(1，+∞)上递增，

∴ 由g(1)>0即1+2k>0解得
，

∴

又∵ k∈Z，

∴ k的最大值为2．

若k>2时，由lnx+2-k>0解得x>
，由lnx+2-k<0，解得1

即g(x)在(1，
)上单调递减，在(
，+∞)上单调递增．

∴ g(x)在(1，+∞)上有最小值g(
)=3k-
，

于是转化为3k-
>0(k>2)恒成立，求k的最大值．

令h(x)=3x-
，于是
．

∵ 当x>2+ln3时，
，h(x)单调递减，当x<2+ln3时
，h(x)单调递增．

∴ h(x)在x=2+ln3处取得最大值．

∵ 1

∴ 3<2+ln3<4，

∵
，h(2+ln3)=3+3ln3>0，h(4)=12-e2>0，h(5)=15-e3<0，

∴ k≤4．

∴ k的最大取值为4．

∴ 综上所述，k的最大值为4.…………………………………………………9分

（3）假设存在这样的x0满足题意，则

由
等价于
（*）．

要找一个x0>0，使(*)式成立，只需找到当x>0时，函数h(x)=
的最小值h(x)min满足h(x)min<0即可．

∵
，

令
=0，得ex=
，则x=-lna，取x0=-lna，

在0x0时，
>0，

∴ h(x)min=h(x0)=h(-lna)=
，

下面只需证明：在0

又令p(a)=
，a∈(0，1)，

则
≥0，从而p(a)在a∈(0，1)时为增函数．

∴ p(a)

…………………………………………………14分

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