2015年高2016届成都高新区11月统一检测

数 学(理)

（考试时间: 11月5日下午2:00—4:00 总分:150分）

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合
，
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点位于（ ▲ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3．等差数列{a
}中，如果
，
，数列{a
}前9项的和为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程
看作时间
的函数，其图像可能是（ ▲ ）

5．已知
是两个向量，
且
，则
与
的夹角为（ ▲ ）

A.
B.

C.
D.

6．如右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

7．已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a=（ ▲ ）

A．－1 B．－2

C．－3 D．－4

8．阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

9．将函数
的图象向右平移
个单位后得到函数
，则
具有性质（ ▲ ）

A．最大值为
，图象关于直线
对称

B．在
上单调递增，为偶函数

C．周期为
，图象关于点
对称

D．在
上单调递增，为奇函数

10．已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，则双曲线的离心率为（ ▲ ）

A. 4 B．3 C. 2 D. 

11．若实数a，b，c，d满足（b＋a2－3lna)2＋(c－d＋2)2＝0,则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为（ ▲ ）

A．8 B．9 C．2 D．1

12．函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2·f(20.2)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝(
)·f(
)，则a，b，c的大小关系是（ ▲ ）

A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13．在约束条件
下，目标函数
的最大值为 ▲ .

14．设函数
,
▲ .

15．在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
，
，则该三棱柱外接球的表面积等于 ▲ .

16．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则S1＋S2＋…＋S100＝ ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分12分）

已知
的最小正周期为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）在
中，角
所对应的边分别为
，若有
，则求角
的大小以及
的取值范围.

▲

18．（本小题满分12分）

某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设
表示所抽取的3名同学中得分在
的学生个数，求
的分布列及其数学期望．

▲

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，
，
，
．

（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．

▲

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.求证:
为定值.

▲

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
）.

（Ⅰ）当a=0时，求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的图象与
轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

▲

22．（本小题满分10分）

已知直线
的参数方程是
是参数），圆C的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；

（Ⅱ）由直线
上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

▲

2015年高2016届成都高新区11月统一检测数学(理)答题卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案



























二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13.______________ 14.______________ 15.______________ 16.______________

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分)

18．(本小题满分12分)

19．(本小题满分12分)

20．(本小题满分12分)

21．(本小题满分12分)

22．(本小题满分10分)

2015年高2016届成都高新区11月统一检测

数学(理)标准答案与评分细则

一、选择题

CDBAC DABDC AB

二、填空题

13. 12 14. 9 15.
16. 

三、解答题

17.解：（Ⅰ）

------2分

的最小正周期为
，

， -------------4分

------------6分

（Ⅱ）

∴由正弦定理可得：

-------------9分

. - -------------12分

18. 解：

（Ⅰ）由题意可知，样本容量

（3分）

（Ⅱ）由题意可知，分数在
有5人，分数在
有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在
的学生个数
的可能取值为1，2，3，则

所以，
的分布列为

1

2

3



P









所以，
（12分）

19. 解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面P…4分

证法二：AD∥BC，BC=
AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……………………4分

（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为
；…………………………………5分

Q（0，0，0），
，
，
．

设M（x，y，z），则
，
，

∵
，∴
，∴

在平面MBQ中，
，
，

∴平面MBQ法向量为
………………………………………8分

∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，

∴
，∴t=3．……………………12分

20. 解：

（Ⅰ）由条件
…………2分

故所求椭圆方程为
. …………4分

（Ⅱ）设过点
的直线
方程为：
. ………5分

由
可得：
…………6分

因为点
在椭圆内，所以直线
和椭圆都相交，即
恒成立.

设点
，则

. …………7分

因为直线
的方程为：
，

直线
的方程为：
， ………8分

令
，可得
，
，

所以点
的坐标
. ………9分

直线
的斜率为

……10分

所以
为定值
. ………12分

21. 解：

（I）
的定义域为
当
时，

…………1分

由
得
由
得

的单调增区间为
，单调减区间为
…………3分

（Ⅱ）
，则
，

∵
，故
时，
.当
时，
；当
时，
.

故
在
处取得极大值
. 5分

又
，
，
，则
，

∴
在
上的最小值是
. 6分

在
上有两个零点的条件是
解得
，

∴实数
的取值范围是
. 8分

（Ⅲ）∵
的图象与
轴交于两个不同的点
，

∴方程
的两个根为
，则
两式相减得
.又
，
，则

.

下证
（*），即证明
，
，

∵
，∴
，即证明
在
上恒成立.

10分

∵
，又
，∴
，

∴