成都七中 2015－2016 学年度上期半期考试

高三年级数学试卷（理科）

考试时间：120 分钟 总分：150 分

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合 A ??{ x | x ??1 ??0}, B ??{ x | x 2 ??x ??2 ??0} ，则 A ??B ??（ ）

（A）{ x | 0 ??x ??2}

（B）{ x | 1 ??x ??2}

（C）{1,2 }

（D） ?

2．式子 2 lg 5 ??lg 12 ??lg 3 ??（ ）

（A） 2 （B）1 （C） 0
（D） ??2

3．已知向量 a ??(1, ??) ， b ??( ??,4 ) ，若 a // b ，则实数 ?

??（ ）

（A） 0 （B） ??2

（C） ??2

（D） 2

4．函数 f ( x ) ??sin 2 x ??1 的周期为（ ）

（A） 4?

（B） 2?

?

（C） ? （D）

2

5． ??ABC

的三内角为 A , B , C ，“ A ??B ”是“ sin

A ??sin

B ”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

6．已知函数 f ( x ) ??e x ??e ??x ??1 的导函数为 f / ( x ) ，则函数 f / ( x ) 的奇偶性为（ ）

（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数也是偶函数

?

7．已知 tan(

1

????) ???2 ，则 sin 2?

4

1

??（ ）

3 3

（A） ? （B）

3 3

1

（C） ? （D）

5 5

8．函数 f ( x ) ??ln

x ? ??2 的零点个数为（ ）

x

（A）0 个 （B）1 个 C．2 个 （D）3 个

9．下列命题成立的是（ ）

（A） ??x

?

??( 0 ,

4

) ，使得 sin

1

cos

2

?

（B） ??x ??[ 0 ,

4

] ，都有 sin



x ??cos x ? 2

?

（C） ??x ??(

2

, ??) ，使得 sin



cos ??1

3?

（D） ??x ??[

4

, 5???] ，都有 sin 2 x ??cos 2 x

4

10．在 ??ABC

中， cos

2 5

A ? , cos

5

3 10

B ?

10

，最长的边长为 5 ，则最短的边长为（ ）

5

（A） 2 （B）

2

3

（C）1 （D）

2

11．已知公差不为零的等差数列{?

} 的前 n 项和为 S ，且 S

??4 ?

，函数 f ( x ) ??cos

x ( 2 sin

x ??1) ，则

f (???) ?

f (?

) ?????

f (?

) 的值为（ ）

（A） 0 （B） 4?

（C） 8?

（D）与???有关

12．已知数列{ a

} 的前 n 项和为 S ， a



n n ??1

3 *

( n ??N

) ，有下列四个命题：

1 ? 3 a

①若 a ?

3 ，则 a

??0 ；

②对任意的 a ( a ?

3

) ，均有 a

3



n ??3

??a ( n ??N ) ；

③若 a

???tan ??, a

???tan

??, a

???tan ?

， ??, ??, ?????( 0 ,2??) ，则??, ??, ???成等差数列；

3

④当 ??a ?

3

3 时， S

??0 ．

其中正确的命题有（ ）

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）

13．已知 a ??( 2 ,??1), b ??(1,3) ，则 ( 2 a ??b ) ??a ? ．

?

14．已知角??, ??, ???构成公差为

3

2

的等差数列．若 c o s ?????? ，则 co s ?????c o s ????? .

3

15．已知公比 q ??1 的正项等比数列{ a



} ， a



??1 ，函数 f ( x ) ?

3

3 ??1



( x ??R ) ，则

f (ln ) ?

f (ln ) ?

f (ln ) ?

f (ln ) ?

f (ln

) ? ．

16．函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有定义，若对任意 x , x ????a , b ??，有

x

f ( 1 ) ?

2

1

[ f ( x ) ?

2

f ( x )] ，则称 f ( x )

在 [ a , b ] 上具有性质 P．设 f ( x ) 在 ?1, 2 0 1 5 ??上具有性质 P．现给出如下命题：

① f ( x ) 在 ?1, 2 0 1 5 ??上的图象是连续不断的；

②函数 f x 2 在 ?1, 2 0 1 5 ??上具有性质 P；

? ?

③对任意 x , x



, x , x



??[1,2015

x

] ，有 f ( 1

x ??x

4



4 ) ?



1

[ f ( x ) ?

4



f ( x ) ?



f ( x ) ?



f ( x



)] ；

④若 f ( x ) 在 x ??1008

处取得最大值 2016 ，则 f ( x ) ??2 0 1 6 , x ???1, 2 0 1 5 ??．

其中真命题的序号是 .

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题 10 分）已知集合 A ??{ x | x 2 ??3 x ??2 ??0} ，函数 f ( x ) ?

x ??2 ax

??1 .

（Ⅰ）当 a ??0 时，解关于 x 的不等式 f ( x ) ??3 a 2 ??1 ；

（Ⅱ）若命题“存在 x ??A ，使得 f ( x

) ??0 ”为假命题，求实数 a 的取值范围.

18．（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) ??2 x 3 ??3 x 2 ?

f ( 0 ) x ??c（ c ??R ），其中 f ( 0 ) 为函数 f ( x ) 在 x ??0

处的导数．

（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的递减区间；

1

（Ⅱ）若函数 f ( x ) 的图象关于 (

2



,0 ) 对称，求实数 c 的值．

19．（本小题 12 分）已知数列{ a ??2 a

} ( n ??N ) 是公比为 2 的等比数列，其中 a

??1, a

??4 ．

（Ⅰ）证明：数列{

a

n } 是等差数列；

2

（Ⅱ）求数列{ a

} 的前 n 项和 S ．

20．（本小题 12 分）已知向量 a ??(sin



x ??cos x ,

2 cos x ) ，b ??(cos



x ??sin x ,



2 sin

?

x ) ， x ??[ ?

8

,0 ] ．

（Ⅰ）求 | a | 的取值范围；

（Ⅱ）求函数 f ( x ) ??a ??b ??| a | 的值域．

21．（本小题 12 分） ??ABC

的三内角 A , B , C

所对边长分别为 a , b , c ， D 为线段 BC 上一点，满足

b AB

c AC

???bc AD

， a 2 ??b 2

??bc ,且 ??ACD

与 ??ABD

面积之比为 1:2．

（Ⅰ）求角 A 的大小；

（Ⅱ）求 ??ABC

的面积．

?

22.（本小题 12 分）已知函数 f ( x ) ????e x ??x 2 , g ( x ) ????x 2 ?

2

然对数底数.

15

x ? ( ????0 ) ，其中 e ??2 .71828

2

??????是自

（Ⅰ）若函数 f ( x ) 有两个不同的极值点 x , x

,求实数 ??的取值范围；

（Ⅱ）当 ??=1 时，求使不等式 f ( x ) ???g ( x ) 在一切实数上恒成立的最大正整数 ??.

成都七中2015－2016学年度上期半期考试

高三年级数学试卷（理科参考答案）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B

7．D 8．C 9．D 10．C 11．A 12．C

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．11 14．
15．
16．③④

三、解答题（共70分）

17.解：（1）不等式
整理得
，即
，

若
，则解集为
， …………………2分

若
，则解集为
． …………………4分

（2）
，

命题“存在
，使得
”的否定为：

“对任意的
，均有
成立”为真命题，…………………6分

即
，只需
， …………………8分

当
时，
，所以
，即
． …………………10分

18．解：（1）
，

令
得
， …………………3分

令
，解得
，

所以函数
的递减区间为
， …………………6分

（2）将函数
向左平移
后得到函数为：

， …………………9分

据题意知：函数
为奇函数，即
，

解得
． …………………12分

19．解（1）由已知得
， …………………2分

两端同除
得：
，

所以数列
是以首项为
，公差为
的等差数列， …………………4分

（2）由（1）知
，所以
， …………………6分

，

则

，

相减得：
，

所以
， …………………10分

即
． …………………12分

20．解：（1）

…………………2分

因为
，所以
，即
，………………4分

所以
的取值范围是
， …………………6分

（2）

，…………………8分

令
，

所以
，其值域为
． …………………12分

21． 解（1）由
得
，

由正弦及余弦定理得：
，…………………2分

,

整理得
，即
, …………………4分

由
得
，即
为角
的平分线，且
，

所以
， …………………6分

所以
，

即
． …………………8分

（2）由
及
得：
…………………10分

所以
，

． …………………12分

22．解（1）
，

据题意得
有两个不同的根
，

当
时，
在R上递减，不合题意，

所以
，

又
，令
得
，

所以函数
在
上递减，在
上递增，…………………4分

所以
有两个不同的根，则
，

即
，
，

截得
， …………………6分

（2）不等式
对任意
恒成立，

令
，

，令
得
，

所以函数
在
上递减，在
上递增，

所以
，

整理得
， …………………9分

令
，易得
在
上递减，

若
，
，

若
，
，

所以满足条件的最大整数
. …………………12分

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