长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期期中考试

数 学（理）试 题

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

1.已知集合
，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分条件 D.既不充分也不必要条件

2．如图，在复平面内，若复数
对应的向量分别是
，则

复数
所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若向量
的夹角为
，且
，则向量
与向量
的夹角为（ ）

A.
B.
C.
D.

4.
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．不确定

5．已知
，则
（ ）

A．
B.
C．
D.

6. 已知关于
的不等式
的解集为
，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

7. 函数
的图象大致为（ ）

8．如图所示程序框图中，输出
（ ）

A.
B.
C.
D.

9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分是两个半径为1的圆弧，则这个几何体的体积是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.由不等式组
确定的平面区域为
，由不等式组
确定的平面区域为
，在
内随机的取一点
，则点
落在区域
内的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

11.已知函数
，方程
有四个不同的实数根，

则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知点
是椭圆
上非顶点的动点，
分别为椭圆的左、右焦点，
是坐标原点，若
是
的平分线上一点，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13．函数
的部分图象如图所示，则
.

14. 已知点
在曲线
上，则曲线在点
处的切线方程为_____________.

15.定义在
上的奇函数
，对于
，都有
，且满足
，
，则实数
的取值范围是 .

16.给出下列四个命题：

①
，
；

② 函数
图像的对称中心是

；

③ 函数
是周期函数，
是它的一个周期；

④

其中正确命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.（本小题满分
分）

数列
满足：
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，求数列
的前
项和
.

18．（本小题满分
分）

在
中，角
的对边分别为
，设函数

的值域为
.

（1）求
的值；

（2）若
，且
，
为锐角，求
的
边上高
的值．

19. （本小题满分
分）

如图，四棱柱
中，侧棱
底面
，
∥
，
，
，
为棱
中点.

（1）证明：
；

（2）求二面角
的正弦值

20．(本小题满分12分）

已知抛物线
上点
到焦点
的距离为
．

（1）求
的值；

（2）设
是抛物线上分别位于
轴两侧的两个动点，且
（其中 O为坐标原点）．求证：直线
过定点，并求出该定点的坐标；

21.（本小题满分12分）

设函数
.

（1）若函数
在
上为减函数，求实数
的最小值；

（2）若存在
，使
成立，求实数
的取值范围.

22．(本小题满分10分)选修4——1：几何证明选讲

如图所示，已知圆
外有一点
，作圆
的切线
，
为切点，过
的中点
作割线
，交圆于
、
两点，连接
并延长，交圆
于点
，连接
交圆

于点
，若
.

（1）求证：△
∽△
;

（2）求证：四边形
是平行四边形.

23．（本小题满分10分）选修4——4：极坐标与参数方程选讲

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆
，直线
的极坐标方程分别为
，
．

（1）求
与
的直角坐标方程，并求出
与
的交点坐标；

（2）设
为
的圆心，
为
与
交点连线的中点．已知直线
的参数方程为
（
为参数，
），求
的值．

24.（本题满分10分）选修4——5：不等式选讲

设函数
.

（1）若
，解不等式
；

（2）若
有最小值，求实数
的取值范围.

长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期期中考试

数 学 试 题 （理）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

D

B

B

C

D

B

B

C

A

C

B



二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）

13. 1 14.
15.
或
16. ①③④

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.解析：

（1）由条件知数列
是首项为
，公差
的等差数列，………3分

所以：
，解得：
………………6分

（2）由
………………9分

所以：
………………12分

18.解析：

（1）由条件当
时，
，所以：
………2分

（ⅰ）当
时，由条件知
，解得：
………………4分

（ⅱ）当
时，由条件知
，解得：
………………6分

（2）若
，由（1）知：
，由
，即：
，

所以：
（
为锐角）且
………………8分

由余弦定理：
，所以
………………10分

，
………………12分

19.解析

（1）由已知条件，以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，……1分

则：
，
是
中点，

则
…………3分

，
………5分

所以：
，

故
，即：
……………6分

（2）由已知条件：
结合（1）知
平面
，故平面
的一个法向量为

…………3分

由条件：
，
，设平面
的一个法向量为
，则

，取
得
…………10分

所以
的余弦值

故二面角
的正弦值为
…………12分

20．（1）由抛物线定义得，
…………………2分

所以抛物线方程为
，………3分 代入点
，可解得
. ………5分

（2）设直线
的方程为
，
，

联立
消元得：
，则：
，
…………8分

由
得：
，所以：
或
（舍去）

即
，所以直线
的方程为
，

所以直线
过定点
………… 12分

21.解析：

（1）函数定义域为：
，对函数
求导：
，

若函数
在
上为减函数，则
在
恒成立

所以：
………2分

由
，故当
，即
时，

所以：
，所以
的最小值是
………………5分

（2）若存在
，使
成立，则问题等价为：

当
时，

由（1）知：
在
的最大值为
，所以

所以问题转化为：
………………7分

（ⅰ）当
时，由（1）知：
在
是减函数，

所以
的最小值是
，解得：

（ⅱ）当
时，
在
的值域是

①当
，即
时，
在
是增函数，于是：

，矛盾

②当
，即
时，由
的单调性和值域知：存在唯一的
，使得

且当
时，
，
为减函数；当
时，
，