益阳市箴言中学2016届高三第二次模拟考试

文科数学试题

时间120分钟 满分150分

1. 设集合A＝{1,2,3,5,7}，B＝{x∈Z|1＜x≤6}，全集U＝A∪B，则A∩(?UB)的子集个数为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

2. 复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数对应的点位于 (　　)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是(　　)

A．a＞b＋1　　　　　　　 B．a＞b－1

C．a2＞b2 D．a3＞b3

4. 已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为(　　)

A．12　　　B．11　　　C．3　　　D．－1

5. 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A.　　　B. C. D．(0,2]

6. 函数y＝
的图象大致为(　　)

7. 连续掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ＞90°的概率是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

8. 已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f(lg )＝(　　)

A．－1 B．0 C．1 D．2

9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π

10. 已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)

A.＋2　　　　　　　　 B.＋1

C.－2 D.－1

11. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞)

12. 已知符号函数
，则函数
的零点个数为( )

A．
B．
C．
D．

二．填空题：（每小题5分，共20分）

13. 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．

14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于__________．

15. 已知sin 2α＝，则cos2(α＋)＝

16. 已知函数
,当
时,恒有
成立,则实数
的取值范围

三．解答题：

17.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x

1

2

3

4

5



命中率y

0.4

0.5

0.6

0.6

0.4



(1)试求小李这5天的平均投篮命中率；

(2)请你用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．

其中

18. 已知向量a＝与b＝(1，y)共线，设函数y＝f(x)．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)已知锐角△ABC中三个内角分别为A，B，C，若有f＝，BC＝，sin B＝，求△ABC的面积．

19. 若数列{an}满足：a1＝，a2＝2,3(an＋1－2an＋an－1)＝2.

(1)证明：数列{an＋1－an}是等差数列；

(2)求使＋＋＋…＋>成立的最小的正整数n.

20. 如图，已知F(2,0)为椭圆
(a＞b＞0)的右焦点，过点F且垂直长轴的直线交椭圆于A，B两点，线段OF的垂直平分线与椭圆相交于C，D两点，且∠CAD=90°.

(1)求椭圆方程.

(2)设过点F且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆相交于P，Q两点，若存在一定点E(
,0)，使得
轴上的任意一点(异于点E，F)到直线EP，EQ的距离相等，求
的值.

21. 已知函数f(x)＝lnx－ax，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22. 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.

(1)证明：△ABE∽△ADC；

(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．

23.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.

(1)求C1与C2交点的极坐标；

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．

24. 已知函数f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)<|m－1|的解集不是空集，求实数m的取值范围．

文科数学参考答案：

选择题：

1-5CDABA；6-10DADAD ；11-12BB；

二．填空题：

13. λ＜且λ≠－6. 14.
15.
；16.

三．解答题：

17. 【解】　(1)由图表知，5天的平均投篮命中率＝＝0.5，

(2)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

∴＝＝0.01，

＝－＝0.5－0.01×3＝0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x

将x＝6代入，得＝0.53，∴6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.

18. 解：(1)由向量a＝与b＝(1，y)共线得

f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期是2π.…………4分

(2)令△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由f＝得sin A＝.

又△ABC为锐角三角形，所以∠A＝.…………6分

又a＝，sin B＝，由正弦定理得b＝＝2，………8分

又a2＝b2＋c2－2bccos A，所以c＝3，…………10分

所以S△ABC＝bcsin A＝.…………12分

19. 解：(1)由3(an＋1－2an＋an－1)＝2可得：

an＋1－2an＋an－1＝，即(an＋1－an)－(an－an－1)＝，

故数列{an＋1－an}是以a2－a1＝为首项，为公差的等差数列．…………6分

(2)由(1)知an＋1－an＝＋(n－1)＝(n＋1)，

于是累加求和得an＝a1＋(2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，

∴＝3，∴＋＋＋…＋＝3－>，∴n>5，

∴最小的正整数n为6.………12分

20. 解：(1)由条件知A(2，
),C(1,y0),D(1,-y0),其中y0=
.

所以

因为∠CAD=90°,所以
=0.

所以

可解得a2=6,b2=2.所以椭圆方程为
.

(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0).

由
得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0.所以x1+x2=
x1x2=
.

根据题意,x轴平分∠PEQ,则直线EP,EQ的倾斜角互补，即kEP+kEQ=0.

因为E(m,0)，则有
(当x1=m或x2=m时不合题意).

将y1=k(x1-2),y2=k(x2-2)代入上式，得
=0.

又k≠0,所以
即

即
即2x1x2-(m+2)(x1+x2)+ 4m=0.

将x1+x2=
x1x2=
代入，可解得m=3.

21. 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，

①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)只有单调递增区间(0，＋∞)；

②当a>0时，由f′(x)>0，得0，

所以f(x)的单调递增区间是(0，)，单调递减区间是(，＋∞)．

(2)解法一：因为f(x)＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，即lnx－a(x－1)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，设g(x)＝lnx－a(x－1)，则g′(x)＝－a，注意到g(1)＝0，

①当a≥1时，g′(x)<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，则g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)

②00得0.

则g(x)在(1，)上单调递增，所以当x∈(1，)时，g(x)>g(1)＝0，即0

③当a≤0时，g′(x)＝－a>0，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>g(1)＝0，即a≤0时不满足题意(舍去)．

综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

解法二：由题意知，f(x)＋a<0，即lnx－ax＋a<0在x∈(1，＋∞)上恒成立，

设g(x)＝lnx－a(x－1)，则g′(x)＝－a，

由(1)知，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以对任意的x∈(1，＋∞)，有g(x)>g(1)＝0，即f(x)＋a>0(不合题意，舍去)．

由(1)知，当a>0时，g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，

①当≤1时，即a≥1时，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)

②当>1时，即0g(1)＝0不符合题意．综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．

22. (1)证明　由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.

(2)解　因为△ABE∽△ADC，所以＝，AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.

23. 解　(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

解得

所以C1与C2交点的极坐标为，，

注：极坐标系下点的表示不唯一．

(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．

故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，由参数方程可得y＝x－＋1，

所以解得

24解　解：(1)原不等式为：|2x＋3|＋|2x－1|≤6，

当x≤－时，原不等式可化为－4x－2≤6，即－2≤x≤－；

当－

当x≥时，原不等式可化为4x＋2≤6，即≤x≤1，

∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤1}．

(2)由函数f(x)

＝∴|m－1|>4，解得：m<－3或m>5.

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