浏阳一中2015年下学期高三年级第二次月考试题

理科数学

时量：120分钟 总分：150分

一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一个符合题目要求．

1.已知集合
,
,则

A．
B．
C．
D．

2.下列命题的说法 错误 的是

A．若复合命题
为假命题，则
都是假命题．

B．“
”是“
”的充分不必要条件．

C．对于命题
则
．

D命题“若
，则
”的逆否命题为：“若
，则
”

3.下列函数中,既是奇函数又在区间
上单调递增的是

A．
B．
C．
D．

4.已知等差数列
满足
,
,则它的前10项和

85
135
95
23

5.下列三个数：
，大小顺序正确的是

6.已知函数①
，②
，则下列结论正确的是

A．两个函数的图象均关于点
成中心对称

B．两个函数的图象均关于直线
对称

C．两个函数在区间
上都是单调递增函数

D．可以将函数②的图像向左平移
个单位得到函数①的图像

7.已知向量
,
,若
与
垂直,则
的值为

A．
B．
C．
D．

8．已知
，
满足约束条件
若
的最小值为
，则

9.在
中,角
的对边分别是
,若
,则
的大小是

A．
B．
C．
D．

10.已知函数
，
.当
时，则函数
极值

点个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

11.设
为单位向量，若向量
满足
，则
的最大值是（ ）

A.
B.2 C.
D．1

12.已知
为常数，函数
有两个极值点
，则(　　)

A.
B.

C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分．

13.设
为锐角,若
,则
的值为______

14.设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．

15.若函数f(x)=
在
上增函数,则实数a的取值范围是__.

16.若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

等差数列
的前
项和为
，数列
是等比数列，满足
，

(Ⅰ)求数列
和
的通项公式；

(Ⅱ)令
设数列
的前
项和
，求

18.（本小题满分12分）

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀

非优秀

总计



甲班

10







乙班



30





合计





105



已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为
.

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按
的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ;

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

参考公式:

参考数据：

0.10

0.05

 0.025

 0.010sj.fjjy.org





2.706

3.841

5.024

6.635





19.（本小题满分12分）

如图,在△
中,
,
,点
在边
上,
,
,
为垂足.

(Ⅰ)若△
的面积为
,求
的长;

(Ⅱ)若
,求角
的大小.

20.（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（1）证明AB⊥A1C;

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

21.（本小题满分12分）

如图所示,椭圆
的离心率为
,且A(0,2)是椭圆C的顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点A作斜率为1的直线
,设以椭圆C的右焦点F为抛物线
的焦点,若点M为抛物线E上任意一点,求点M到直线
距离的最小值.

22.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）设
是函数
的极值点，求
的值并讨论
的单调性；

（2）当
时，证明：
＞
．

浏阳一中2015年下学期高三年级第二次月考理科数学参考答案

一 选择题（每小题5分，共60分）

1-5 AABCA 6-10 CBBCC 11-12 AD

二、填空题(每小题5分。共20分)

13
14 (－∞，] 15
16 560

三、解答题 (本大题共6小题，共70分)

17、（本小题满分12分）

解 (Ⅰ)设数列
的公差为d，数列
的公比为q，则

由
得
解得

所以
，
． …………………5分

(Ⅱ)由
，
得
，

则
即
 …………………6分

…………………8分

…………………10分

18（本小题满分12分）

解：(Ⅰ)

优秀

非优秀

总计



甲班

10

45

55



乙班

20

30

50



合计

30

75

105



 ……………４分

(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……………8分

(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.

所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.

事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个
. ……………12分

19（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)由已知得

,

又
,
得
…………3分

在△
中,由余弦定理得

,

所以
的长为
…………………………….6分

(Ⅱ)因为
………….8分

在△
中,由正弦定理得
,又
,

得
,

解得
,所以
即为所求 …………….12分

20（本小题满分12分）

（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，
，
，∵AB=
，
=
，

∴
是正三角形，∴
⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB，

∵
=E，∴AB⊥面
， ∴AB⊥
； ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，
⊥AB，

又∵面ABC⊥面
，面ABC∩面
=AB，∴EC⊥面
，∴EC⊥
，

∴EA，EC，
两两相互垂直，以E为坐标原点，
的方向为
轴正方向，|
|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系
，

由题设知A(1,0,0),
(0,
,0),C(0,0,
),B(－1,0,0),则
=（1,0，
）,
=
=(－1,0,
),
=(0,－
,
), ……9分

设
=
是平面
的法向量，

则
，即
，可取
=（
，1，-1），

∴
=

，

∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
. ……12分

21（本小题满分12分）

解:(1)由题意可知,

,即

所以椭圆C的方程为:

(2)由(1)可求得椭圆C的右焦点F坐标(1,0) ………….5分

抛物线E的方程为:
,而直线
的方程为

设动点M为
,则点M到直线
的距离为

即抛物线E上的点到直线
距离的最小值为
………….12分

（22）（本小题满分12分）

解证：（Ⅰ）
，由
是
的极值点得
，

即
，所以
．　　　 ………………………………２分

于是
，
，

由
知
在
上单调递增，且
，

所以
是
的唯一零点． ……………………………４分

因此，当
时，
；当
时，
，所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增． ……………………………5分

（Ⅱ）解法一 解：当
，
时，
，

故只需证明当
时，
＞
．　………………………………6分

当
时，函数
在
上单调递增，

又
，

故
在
上有唯一实根
，且
．…………………8分

当
时，
；当
时，
，

从而当
时，
取得最小值且
．

由
得
,
．…………………………………10分

故

=

=


．

综上，当
时，

．　…………………………12分

解法二：当
，
时，
，又
,所以

．　 ………………………………………８分

取函数

，
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，得函数
在
时取唯一的极小值即最小值为
．　……10分

所以
，而上式三个不等号不能同时成立，故
＞
．…………………………………12分

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