公安三中高三年级十月数学试卷（理）

考试时间：10月5日15:20—17:20 命题：喻明松

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 复数
（其中
为虚数单位），则下列说法中正确的是（c ）

A．在复平面内复数
对应的点在第一象限 B．复数
的共轭复数

C．若复数
为纯虚数，则
D．复数
的模

2.已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是( A )

A.
B.
C.
D.

3.命题“
，
”的否定是（ D ）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

4.函数
在
处导数存在，若
，
是
的极值点,则(C)

A.
是
的充分必要条件

B.
是
的充分条件，但不是
的必要条件

C.
是
的必要条件，但不是
的充分条件

D.
既不是
的充分条件，也不是
的必要条件

5.若方程
在区间
且
上有一根，则
的值为 ( B )

A． 1 B．2 C．3 D．4

6.已知
，则下列推理其中正确的个数是 ：（ C ）

①
②

③
④

A．1 B．2 C．3 D．4

7.设
为实数，函数
的导数是
，且
是偶函数，则曲线
在原点处的切线方程为( A )

A．
B．
C．
D．

8．函数
是奇函数,且在
上单调递增,则
等于（ C ）

A.0 B.-1 C.1 D.

9. 设x、y满足约束条件
，若目标函数
（其中
)的最大值为3,则
的最小值为（A）

(A)3 (B)1 (C) 2 (D)4

10. 已知函数
在R上是偶函数，对任意
都有
，当
且
时，
，给出如下命题

①
②直线
是
图象的一条对称轴

③函数
在
上为增函数 ④函数
在
上有四个零点,其中所有正确命题的序号为( D )

(A)①② (B)②④ (C)①②③ （D)①②④

11．已知
，方程
有四个实数根，则t的取值范围为( B)

A．
B．

C．
D．

12．对于函数
，若
，
为某一三角形的三边长，则称
为“可构造三角形函数”，已知函数
是“可构造三角形函数”，则实数
的取值范围是（ D ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。）

13．已知函数
为偶函数，且
，则
16 。

14．方程
的解为 x=2 ．

15．已知x、y、z∈R, 且2x＋3y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为

16．若函数y = f (x)在定义域内给定区间[a，b]上存在x0 (a < x0 < b)，满足
，则称函数y = f (x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y = | x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．(1)若函数
是[－1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是 　(0，2)　．(2)若
是区间[a，b] (b > a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则
的大小关系是　
　．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）已知函数
在区间
上有最小值1和最大值4，设
.

（I）求
的值；

（II）若不等式
在区间
上有解，求实数k的取值范围.

解析：（Ⅰ）
，因为
，所以
在区间
上是增函数，

故
，解得
． …………………………6分

（Ⅱ）由已知可得
，所以
,可化为
，

化为
，………………………8分

令
，则
，因
，故
，

记

，因为
，故
，

所以
的取值范围是
. ……………………12分

18.（本小题满分12分）设命题
命题
，如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围。

18.解：命题p:
令
，

=
，
，
…………………5分

命题q:
解集非空，
，

…………………………10分

命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，p真q假或p假q真。

当p真q假，
；

当p假q真，

综合，a的取值范围
…………………………12分

19.（本小题满分12分）设
.

（1）若
在
上存在单调递增区间，求
的取值范围；

（2）当
时，
在
上的最小值为
，求
在该区间上的最大值.

【解析】（1）
在
上存在单调递增区间，即存在某个子区间
使得
.由
，
在区间
上单调递减，则只需
即可。由
解得
，

所以，当
时，
在
上存在单调递增区间. …………………………6分

（2）令
，得两根
，
，
.

所以
在
，
上单调递减，在
上单调递增

当
时，有
，

所以
在
上的最大值为
………………………8分

又
，即
……………………10分

所以
在
上的最小值为
，得
，
，

从而
在
上的最大值为
.…………………………12分

20.（本小题满分12分）已知
（a>b>0）的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且
的最大值为1，最小值为?2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点
作不与y轴垂直的直线L交该椭圆于M,N两点， A为椭圆的左顶点。试判断
是否为直角，并说明理由．

21.（本小题满分12分）已知函数

（1）求此函数的单调区间及最值；

（2）求证：对于任意正整数n，均有
（
为自然对数的底数）；

（3）当
时，是否存在过点
的直线与函数
的图象相切? 若存在，有多少条?若不存在，说明理由．

21.（Ⅰ）解：由题意
．

当
时，函数
的定义域为
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，

，无最大值．

当
时，函数
的定义域为
，

此时函数在
上是减函数，在
上是增函数，

，无最大值．……………5分

(Ⅱ)取
，由⑴知
，

故
，

取
，则
．………………8分

(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点
，

∴切线方程：
，将点
坐标代入得：

，即
，

设
，则
．

，

在区间
，
上是增函数，在区间
上是减函数，………10分

故
．

又
，

注意到
在其定义域上的单调性，知
仅在
内有且仅有一根

方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…………………12分

请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆
的极坐标方程为
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
和圆
交于
两点，
是圆
上不同于
的任意一点.[:]

（I）求圆心的极坐标；（II）求
面积的最大值.

22.解：(Ⅰ)圆
的普通方程为
，即
………2分

所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为
；…………………5分

(Ⅱ)直线
的普通方程：
，圆心到直线
的距离

，…………………7分

所以

点
直线
距离的最大值为
…………………9分

.…………………10分

23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（I）当
时，求不等式
的解集；

（II）若二次函数
与函数
的图象恒有公共点，求实数
的取值范围.

23.解：（Ⅰ）当
时，
………………………3分

由
易得不等式解集为
；………………………5分

（2）由二次函数
，该函数在
取得最小值2，

因为
在
处取得最大值
，…………………7分

所以要使二次函数
与函数
的图象恒有公共点，只需
，

即
.……………………………10分

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