2016年数学定位试题（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合
，则
等于 A

A．
B．
C．
D．

2. 若复数Z
，
是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为 C

A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，
）

3. 下列命题正确的是 D

A．已知
;

B．存在实数
，使
成立;

C．命题
：对任意的
，则
：对任意的
;

D．若
或
为假命题,则
,
均为假命题

4. 把函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再将图象向右平移
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D

A．
B．
C．
D．

5. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 C

A.10 B.15 C.20 D.30

6. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为 C

A.3 B. -6 C. 10 D. 12

8.
中，点
在
上，
平方
．若
，
，
，
，则
B

A
B
C
D

7. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得
，则AD的取值范围是（ ）C

A．
???? B．
????? C．
?????? D．

9.若点（4，tanθ）在函数y=log2x的图像上，则2cos2θ= A

A.
B.
C.
D.

10. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=
，则实数a的取值范围为 D

A．
B．（﹣2，1） C．
D．

11．若曲线y=
与曲线y=alnx在它们的公共点P（s，t）处具有公共切线，则实数a= C

A．﹣2 B．
C． 1 D． 2

12. 已知椭圆
（a＞b＞0）的半焦距为c（c＞0），左焦点为F，右顶点为A，抛物线
与椭圆交于B、C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是 D

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数是 . 36

14. 已知函数
，则f（2016）= 0

15. 在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率是 .
．

16. 在△ABC中， 若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且该三角形的面积为
，则△ABC的最大边长等于 14 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知数列
满足
，
，令
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前
项和
.

解：(Ⅰ)
，

，即
，
．………6分

（II）
，

----（1）

----（2）

（1）—（2）得：

(本小题满分12分)某电子广告牌连续播出四个广告，假设每个广告所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计，以往播出100次所需的时间(t)的情况如下：

类别

1号广告

2号广告

3号广告

4号广告



广告次数

20

30

40

10



时间t（分钟／人）

2

3

4

6



每次随机播出，若将频率视为概率．

(Ⅰ)求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率；

（II）用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数，求x的分布列及数学期望.

解：(Ⅰ)由条件知

.

（II）

0

1

2















（本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
侧面
底面
，
，
，

（I）若
中点为．求证：
；

（II）若，求直线
与平面
所成角的正弦值．

（I）证明：取
的中点，连结
，

，且
，所以
为平行四边形．

，且
不在平面
内，
在平面
内，

所以

（II）

直线
与平面
所成角
的正弦值
．

（本小题满分12分）

定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，

并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：
的长轴长是4，椭圆C2：

短轴长是1，点F1， F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，

（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；

（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．

解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，
．

∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即
，

∴
，即

∴
，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，

∴椭圆C1的方程是
，椭圆C2的方程是
；…………5分

（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：
．

联立：
，得
，即
，

∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），

则
，
，∴
，

△F2MN的高即为点F2到直线
的距离
．

∴△F2MN的面积
，……10分

∵
，

当且仅当
，即
时，等号成立

∴
，即△F2MN的面积的最大值为
．…………12分

21．（本小题满分12分）

已知函数

(Ⅰ)求曲线
在点
处的切线方程；

(Ⅱ)若关于
的不等式
在
上恒成立，其中
为实数，求
的取值范围.

解：（Ⅰ）求导
，
又
， 所以曲线
在

点
处的切线方程为
即
…………4分

(Ⅱ) 设
即
在
上恒成立，

又
有
恒成立 即
处取得极小值，得
…6分

所以
, 从而

（ⅰ）当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
即
…………8分

（ⅱ）
时，
在
上单调递增，在
单调递减，在
上单调递增，

则只需
， 解得
…………10分

（ⅲ）当
时，，
在
上单调递增，
单调递减，在
上单调递增，

由
知不符合题意，

.综上，
的取值范围是
…………12分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点H，与⊙O交于点C、D，且AB=10，CD=8，DE=4，

EF与⊙O切于点F，BF与HD交于点G．

（Ⅰ）证明：EF=EG；

（Ⅱ）求GH的长．

（Ⅰ）证明：连接 AF、OE、OF，则A，F，G，H四点共圆

由EF是切线知OF⊥EF，∠BAF=∠EFG

∵CE⊥AB于点H，AF⊥BF，

∴∠FGE=∠BAF

∴∠FGE=∠EFG，

∴EF=EG………………5分

（Ⅱ）解：∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2，

∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48，

∴EF=EG=4
，

∴GH=EH﹣EG=8﹣4
………………10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，

直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
.

（Ⅰ）写出直线
及曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）过点M平行于直线
的直线与曲线
交于
两点，若
，求点M轨迹的直角坐标方程.

解：（Ⅰ）直线
， 曲线
……………………4分

（Ⅱ）设点
及过点M的直线为

由直线
与曲线
相交可得：

，即：

表示一椭圆……………………8分

取
代入
得：

由
得

故点M的轨迹是椭圆
夹在平行直线
之间的两段椭圆弧……10分

24．（本小题满分10分）选修4－5：

不等式选讲已知函数
.

(Ⅰ)解不等式：
；

(Ⅱ)若对任意的
，都有
，使得
成立，求实数
的取值范围.

解：(Ⅰ)由
得

得不等式的解为
……………………5分

(Ⅱ)因为任意
，都有
，使得
成立，

所以
，

又
，

，所以
，解得
或
，

所以实数
的取值范围为
或
.……………………10分

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