安徽省屯溪一中2016届高三年级10月月考

数学（理）试卷

一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）

1.某医疗机构通过抽样调查（样本容量
），利用2×2列联表和
统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得
，经查对临界值表知

，现给出四个结论，其中正确的是( )

A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B.若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病

C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

2.下列关系属于线性相关关系的是( )

①父母的身高与子女身高的关系②圆柱的体积与底面半径之间的关系

③汽车的重量与汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程④一个家庭的收入与支出

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

3.若
,则
的值为（ ）

A．
B．0 C． 2 D．

4.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有( )

　A．
种　　 B．
种　　　 C．
种　　　　 D．
种

5.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率
等于: (　　)

A.
B.
C.
D.

6.直线
（
为参数）被曲线
所截的弦长为（　　）

A .
B.
C.
D.

7.从一批产品中取出三件产品，设A为“三件产品全不是次品”，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）

A． B与C互斥B．A与C互斥C．任何两个均互斥D．任何两个均不互斥

8.极坐标系中，有点A
和点B
，曲线C2的极坐标方程为ρ=
，设M是曲线C2上的动点，则|MA|2+|MB|2的最大值是（ ）

A．24 B．26C．28 D．30

9.不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的取值范围为（　）

A．
B．

C．
D．

10.已知
，若
的必要条件是
，则
之间的关系是( )

A
B
C
D

二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）

11.以下四个命题中正确的命题的序号是_____________

（1）、已知随机变量
越小，则X集中在
周围的概率越大。

（2）、对分类变量
与
，它们的随机变量
的观测值
越小，则“
与
相关”可信程度越大。

（3）、预报变量的值与解释变量和随机误差的总效应有关。

（4）、在回归直线方程
中，当解释变量
每增加一个单位时，预报变量
增加0.1个单位。

12.已知
则
的最大值是.；

13.已知函数
若存在
，使得
成立，则实数a的取值范围为。

14.已知直线
的参数方程为
(
为参数)，以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
．设直线
与曲线C交于
，
两点，则
=．

15.下列说法及计算不正确的命题序号是

①6名学生争夺3项冠军，冠军的获得情况共有
种；

②某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少一门，则不同的选法共有60种；

③对于任意实数
，有
，且
，

则
；

④
。

三、解答题（共75分）

16. （本小题满分12分）改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2005年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2001年编号为1,2002年编号为2，……，2005年编号为5，数据如下：

年份（x）

1

2

3

4

5



人数（y）

3

5

8

11

13



（1）从这5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有
年多于10人的概率.

（2）根据这
年的数据，利用最小二乘法求出
关于
的回归方程
，并计算第
年的估计值。

参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式

17. （本小题满分12分） 已知曲线
的参数方程是
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
.

（Ⅰ）写出
的极坐标方程和
的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点
、
的极坐标分别是
、
，直线
与曲线
相交于
、
两点，射线
与曲线
相交于点
，射线
与曲线
相交于点
，求
的值．

18（本小题满分12分）．已知圆的方程
，从0， 3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。问：

（1）可以作多少个不同的圆？

（2）经过原点的圆有多少个？

（3）圆心在直线上
的圆有多少个？

19. （本小题满分12分）某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为
，
，
，且各轮考核通过与否相互独立。（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为
，求
的分布列和数学期望。

20. （本小题满分13分）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．

（1）求f（x）≤x+2的解集；

（2）若不等式f（x）≥
对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．

21.（本小题满分14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中

f′（x）是f（x）的导函数．

（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；

（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．

试卷答案

1.C2.C3.A4.D5.A6.C7.C8.B

A
，

由ρ=
，化为ρ2（4+5sin2θ）=36，∴4ρ2+5（ρsinθ）2=36，化为4（x2+y2）+5y2=36，化为
，设曲线C2上的动点M（3cosα，2sinα），

|MA|2+|MB|2=
+

=18cos2α+8sin2α+8

=10cos2α+16≤26，当cosα=±1时，取得最大值26．

∴|MA|2+|MB|2的最大值是26．

9.A10.A11.B

考点： 互斥事件与对立事件．

专题： 规律型；探究型．

分析： 本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案

解答： A为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B为“三件产品全是次品”，

C为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件

由此知，A与B是互斥事件，A与C是对立事件，也是互斥事件，B与C是包含关系，故选项B正确

故选B

点评： 本题考查互斥事件与对立事件，解题的关系是正确理解互斥事件与对立事件，事件的包含等关系且能对所研究的事件所包含的基本事件理解清楚，明白所研究的事件．本题是概念型题．

12.(1),(3)(4)13.

【知识点】参数方程化成普通方程．N3

解析：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．

由点到直线的距离公式可得：|PQ|=
=
=
≥
=
．

当且仅当t=2时取等号．∴|PQ|的最小值为
．故答案为：
．

【思路点拨】把直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得：|PQ|=
．再利用二次函数的单调性即可得出最小值．

14.
15.

16.解:（1）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:12,13,14,15,23,24,25,34,35, 45共10种

至少有1年多于10人的事件有:14,15,24,25,34,45,45共7种,则

至少有1年多于10人的概率为
.

则第8年的估计值为
.

略

17.解：（1）可分两步完成：第一步，先选r有
中选法，第二步再选a,b有
中选法

所以由分步计数原理可得有
.
=448个不同的圆 4分

（2）圆经过原点满足

所以符合题意的圆有
8分

圆心在直线
上，所以圆心
有三组：0，10；3，7；4，6。

所以满足题意的圆共有
个 12分

略

18.

19.考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．

专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析：（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；

（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．

解答： 解：（1）由f（x）≤x+2得：

或
或
，

即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?，

解得0≤x≤2，

所以f（x）≤x+2的解集为；

（2）
=||1+
|﹣|2﹣
||≤|1+
+2﹣
|=3，

当且仅当（1+
）（2﹣
）≤0时，取等号．

由不等式f（x）≥
对任意实数a≠0恒成立，

可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即
或
或
，

解得x≤﹣
或x≥
，

故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣
]∪[
，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．

20.解：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P(A)＝

所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

（2）
的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元

，
，

所以，
的分布列为

数学期望为

21.

由题设得，

（Ⅰ）由已知
，

，

…

可得

下面用数学归纳法证明．①当n=1时，
，结论成立．

②假设n=k时结论成立，即
，

那么n=k+1时，
=
即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N+成立．

（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥
恒成立．

设φ（x）=ln（1+x）﹣
（x≥0），则φ′（x）=
，

当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），

∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，

又φ（0）=0，

∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

∴当a≤1时，ln（1+x）≥
恒成立，（仅当x=0时等号成立）

当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，

∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0

即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，

故知ln（1+x）≥
不恒成立，

综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．

（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=
，

n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），

比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）

证明如下：上述不等式等价于
，

在（Ⅱ）中取a=1，可得
，

令
则

故有
，

ln3﹣ln2
，…

，

上述各式相加可得
结论得证．

21．解：由题设得，g(x)＝(x≥0)．

(1)由已知，g1(x)＝，

g2(x)＝g(g1(x))＝＝，

g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．

②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.

那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．

设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，

则φ′(x)＝－＝，

当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，

∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立)．

当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，

∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，

∴φ(a－1)<φ(0)＝0.

即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，

故知ln(1＋x)≥不恒成立．

综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，

比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．

证明如下：

方法一：上述不等式等价于＋＋…＋

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.

令x＝，n∈N＋，则

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，

②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋

那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋

即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

方法二：上述不等式等价于＋＋…＋

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.

令x＝，n∈N＋，则ln>.

故有ln2－ln1>，

ln3－ln2>，

……

ln(n＋1)－lnn>，

上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，

结论得证．

方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，

∴＋＋…＋>dx＝

dx＝n－ln(n＋1)，

结论得证．

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