2016届高三理科数学9月月考

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={x|y=log2（x﹣1）}，则M∩N=（　　）

　 A． {x|﹣2≤x＜0} B． {x|﹣1＜x＜0} C． {x|1＜x＜2} D． {﹣2，0}

解答： 解：由集合N中的函数y=log2（x﹣1），得到x﹣1＞0，解得x＞1，

所以集合N={x|x＞1}，又集合M={x|﹣2≤x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}．故选C

2、复数
在复平面上对应的点位于（ B ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知

，则“
”是“
”的（ A ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

4.已知
，
，则
=（ A ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ B ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6、若实数
,
满足约束条件
,则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点
处,
取最小值
；在点
处,
取最大值
.所以
的取值范围是
.故选C.

【考点】线性规划

7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ C ）

A. 14　　 B. 15 C. 16 　 D. 17

8、已知矩形
中,
,
,则

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】解法一：以A为坐标原点,
为
轴,
为
轴建立平面直角坐标系,
,
,
,

,则
,
,

所以
.故选A.

解法二：记
,
,

则
,
,
,

. 故选A.

9．设函数
的图象上的点
处的切线的斜率为k，若
，则函数
的图象大致为（ A ）

如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线

于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 （ ）

A.

　B.

C．

D．

[][来源:学§科§网Z§X§X§K]

11．已知函数f（x）=cos（
x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，

则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（　　）

　 A．
B．
C．
D．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；余弦函数的图象．

专题： 概率与统计．

分析： 求出函数f（x）=cos（
x）的周期，根据函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6，求出a的值，即可求出概率．

解答： 解：函数f（x）=cos（
x）的周期为T=
，∵函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6，

∴a=1、2、3、5、6．

共计5个，

故函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为
．

故选B．

点评： 本题考查概率是计算，确定a的值是关键，属于基础题

12．设函数f（x）=﹣
（x∈R），区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，则使M=N成立的实数对（a，b）有（　　）

　 A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 无数多个

考点： 集合的相等．

专题： 计算题．

分析： 由已知中函数
，我们可以判断出函数的奇偶性及单调性，再由区间M=[a，b]（a＜b），集合N={y|y=f（x），x∈M}，我们可以构造满足条件的关于a，b的方程组，解方程组，即可得到答案．

解答：[来源:Z§xx§k.Com] 解：∵x∈R，f（﹣x）=
=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，

∵x≥0时，f（x）=
=
，当x＜0时，f（x）=
=1﹣

∴f（x）在R上单调递减

∵函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，则f（a）=b，f（b）=a

即﹣
，﹣
解得a=0，b=0 ∵a＜b

使M=N成立的实数对 （a，b）有0对 故选A

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）[来源:学#科#

13、已知集合
，
，若
，则实数m组成的集合为 ．

【解析】因为
且
，所以
，

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
；

所以综上可得：实数m组成的集合为
．

14、在等差数列
中,已知
,则
.

【答案】

【解析】解法一：
,即
,即
,

.

解法二： 利用等差数列的性质得
.

【考点】等差数列通项公式、性质

15、 已知关于
的二项式
展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则
实数
的值为 2

16、
ABC的内角A，B，C所对的边分别为
，且
成等比数列，若
=
，
=
，则
的值为
．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）

17、（本小题满分12分）若公比为
的等比数列
的首项
，且满足
=
，（
…）.

（1）求
的值；

（2）设
，求数列
的前项和

解：（1）由题意易知
，---1分 即
，--2分

解得
或
-
------- 3分

（2）解：①当
时，
，

=
----------5分

②当
时，

---------------7分

=

-

=

相减得
-------- 10分

整理得
=
-（
+
）·
-----------------------12分

18、（本小题满分12分）中秋节吃月饼是我国的传统习俗.设有两种月饼礼盒,甲礼盒中装有2个五仁月饼,2个豆沙月饼,2个莲蓉月饼；乙礼盒中装有3个五仁月饼,3个豆沙月饼.这12个月饼外观完全相同,从中随机选取4个.

（Ⅰ）设事件
为 “选取的4个月饼中恰有2个五仁月饼,且这2个五仁月饼选自同一个礼盒”,求事件
发生的概率;

（Ⅱ）设
为选取的4个月饼中豆沙月饼的个数,求随机变量
的分布列和数学期望.

【解析】（Ⅰ）由已知有
, 所以事件
发生的概率为
.

（Ⅱ）
的所有可能取值为
,

所以随机变量
的分布列为

0

1

2

3

4

















随机变量
的数学期望为

【考点】排列组合、古典概型、随机变量的分布列及数学期望

19．（本小题满分12
分）△ABC中，AB=4，AC=4
，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，构成二面角A﹣BD﹣C．在面BCD内作CE⊥CD，且CE=
．

（Ⅰ）求证：CE∥平面ABD；

（Ⅱ）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

专题： 空间位置关系与距离；空间角．

分析： （1）由已知得△ABC为等腰直角三角形，由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，由此能证明CE∥平面ABD．

（2）设AC中点为F，AE中点为G，则∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的余弦值．

解答： （1）证明：由
，

得BC=4，所以△ABC为等腰直角三角形，

由D为AC的中点得BD⊥AC，以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD⊥CD，

因为CE⊥CD，所以CE∥BD，

又CE?平面ABD，BD?平面ABD，

所以CE∥平面ABD．

（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面
BDC，因此AD⊥CE，

又CE⊥CD，所以CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC．由题意
，所以Rt△ADC中，AC=4．

设AC中点为F，因为AB=BC=4，所以BF⊥AC，且
，

设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，所以∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，

连结BG，在△BCE中，因为
，

所以
．在Rt△DCE中
，

于是在Rt△ADE中，
．

在△ABE中，
，

所以在△BFG中，
．因此二面角B﹣AC﹣E的余弦值为
．

点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

20．（本小题满分12
分）设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
．

（1）求曲线C的方程；

（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．

专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）根据点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
，可求p的值，从而可得曲线C的方程；

（2）直线PQ的方程与抛物线方程联立，确定Q的坐标，进一步可得N的坐标，从而可得直线MN的斜率，利用导数求斜率，根据切线相等，即可求得k的值．

解答： 解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为
．

∴1+
=
，解得p=
．所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）

（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1，则点M（1﹣
，0）

联立方程组
，消去y得x2﹣kx+k﹣1=0

解得Q（k﹣1，（k﹣1）2）．…（6分）

所以得直线QN的方程为y﹣（k﹣1）2）=
．

代入曲线x2=y，得
．

解得N（
，
）．…（8分）

所以直线MN的斜率kMN=
=﹣
．…（10分）

∵过点N的切线的斜率
．

∴由题意有﹣
=
．∴解得
．

故存在实数
使命题成立． …（12分）

点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查直线斜率的求解，正确求斜率是关键．

21．（本小题满分12
分）

已知函数
（
为无理数，
）

(I)求函数
在点
处的切线方程；

(II)设实数
，求函数
在
上的最小值；

（III）若
为正整数，且
对任意
恒成立，求
的最大值．

⑴∵

------3分

（2）∵



时
，
单调递减；[来源:Z+xx+k.Com]

当
时
，
单调递增.

当

-------------------------------6分

(3)
对任意
恒成立，

即

对任意
恒成立， 即
对任意
恒成立

令

令
在
上单调递增。

∵

∴所以
存在唯一零点
，即
。

当
时，
；

当
时，
；

∴
在
时单调递减；在
时，单调递增；

∴

由题意
，又因为
，所以k的最大值是3------------------12

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，

且AD=
AC， AE=
AB，BD，CE相交于点F．

(I)求证：A，E，F，D四点共圆；

(II)若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

（Ⅰ）证明：

，

.

在正△
中，
，

，又
，

，
△BAD≌△CBE，

，

即
，所以
，
，
，
四点共圆. ……(5分）

（Ⅱ）解：如图，取
的中点
，连结
，则
.

，

，

，
，

△AGD为正三角形，

，即
，

所以点
是△AED外接圆的圆心，且圆
的半径为
.

由于
，
，
，
四点共圆
，即
，
，
，
四点共圆
，其半径为