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2015年重庆一中高2016级高三上期开学摸底考试

数学试题卷（理科）2015.9

第I卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集
，集合
，
，则
=（）

A．
B．
C．
D．

2．命题“
，则
或
”的逆否命题为（）

A．若
，则
且
B．若
，则
且

C．若
且
，则
D．若
或
，则

3．“
”是“
”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知函数
的零点在区间
上，则
的值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知
，
为方程
的解，则
的值为（）

A．
B．5 C．﹣5 D．﹣1

6．已知存在实数
，使得关于
的不等式
有解，则
的最大值为（）

A．2 B．
C．4 D．8

7．已知
，
，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．（原创）已知关于
的方程
有两个不同实数解，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．下列命题中：

①若
，则幂函数
在
上单调递增；

②函数
与函数
的图象关于直线
对称；

③若函数
的图象关于
对称，则
为偶函数；

④若
是定义域为R的奇函数，对于任意的
都有
，则函数

的图象关于直线
对称，其中正确的命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（原创）已知点P为曲线
上一点，曲线C在点P处的切线
交曲线C于点Q（异于点P），若直线
的斜率为
，曲线C在点Q处的切线
的斜率为
，则
的值为（ ）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．2

11．（原创）已知
是定义在R上且以4为周期的奇函数，当
时，
，则函数
在区间
上的所有零点的和为（）

A．16 B．32 C．48 D．52

12．（原创）已知函数
，
，
，
，则（）

A．
B．
C．
D．

第II卷

本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答

二、填空题：共4小题，每小题5分

13．
=_________

14．设函数
，则不等式
的解集为_________

15．化简：
=_________

16．（原创）若函数
与函数
的图象有且仅有一个交点，则实常数
的值为_________

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）已知函数

（1）已知
，且
，
，求
的值；

（2）求函数
的最大值

18．（本小题满分12分）设命题P：函数
的定义域为R；命题q：函数
在区间
上有唯一零点，

（1）若p为真命题，求实数
的取值范围；

（2）如果命题“
”为真命题，命题“
”为假命题，求实数
的取值范围

19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，?[60,80]为“老年人”

（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；?

（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

20．（原创）（本小题12分）已知函数
（
为常数）

（1）若函数在
内单调递增，求实数
的取值范围；

（2）若存在
（其中
为自然对数的底），使得
成立，求实数
的取值范围

21．（本小题满分12分）已知
为常数，函数
，

（1）当
=0时，求函数
的最小值；

（2）若
有两个极值点

①求实数
的取值范围；

②（原创）求证：
且
（其中
为自然对数的底）

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知PE且⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D

求证：（1）CE=DE； （2）

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）直线
（t为参数）与曲线C交于A，B两点，于y轴交于点E，求
的值。

24．（原创）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）当
=1时，解不等式
；

（2）当
=2时，若对一切
，恒有
成立，求实数
的取值范围。

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