2015-2016学年度上学期五校协作体高三期初考试

数学试题（文）

时间：120分钟 满分：150分 命题人：朱冬梅 校对人：丁红

说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上; 第Ⅱ卷为主观题，按要求答在试卷相应位置上。

第Ⅰ卷（选择题60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

1．设集合
，则
的值为

A．e B．1 C．
D．0

2.已知复数
，则复数
在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.
是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒

南岗

校区



群力校区



2

0.04

1 2 3 6



 9 3

0.05

9



6 2 1

0.06

2 9



3 3 1

0.07

9



6 4

0.08

7



7

0.09

2 4 6



物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的
监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是

A．南岗校区

B．群力校区

C．南岗、群力两个校区相等

D．无法确定

4.设
、
都是非零向量，下列四个条件中，一定能使
+
=
成立的是

　A．
=2
B．
∥
C．
=﹣

D．
⊥

5.已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜－5成立的自然数n

A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31

6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为

A.
B.
C.
D.

7. 若双曲线
的渐近线与抛物线
有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8.. 若下框图所给的程序运行结果为
，那判断框中应填入的关于
的条件是

A.
B.
C.
D.

9.已知函数
若数列
满足
且
是递增数列，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

10. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为
，则圆锥的体积为

A.
B.
C.
D.

若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12.已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，
，则
的大小关系正确的是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 非选择题

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．已知函数
的图像过点（2,4）,则a=

14．设变量x，y满足约束条件：
，则目标函数z=
的最小值为 ．

15.过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程是 .

16．若关于
的函数
（
）的最大值为
，最小值为

，且
，则实数
的值为 ．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，
点D在线段AC上，且
,

（I）求
；

（II）求BC和AC的长

18．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

错误！未找到引用源。

0.10

0.05

0.010

0.005



错误！未找到引用源。

2.706

3.841

6.635

7.879



（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，

求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。

（参考公式：错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。）

19. （本小题满分12分）如图，三棱台
中，
分别为
的中点.（I）求证：
平面
；

（II）若
求证：平面
平面
.

20.(本小题满分12分)已知椭圆
+
=1（
＞
＞
）的离心率为
，且过点（
，
).

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点
的直线
：

，与该椭圆交于
、
两点，直线
、
的斜率依次为
、
，满足
，试问：当
变化时，
是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

21.(本小题满分12分)已知函数
（
为自然对数的底数）.

（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
，存在
使得
成立，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是的⊙
直径，
与⊙
相切于
，
为线段
上一点，连接
、
， 分别交⊙
于
、
两点，连接
交
于点
.

（Ⅰ）求证：
、
、
、
四点共圆.

（Ⅱ）若
为
的三等分点且靠近
，
，
，求线段
的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点为

极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为

（Ⅰ）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
.

2015-2016学年度上学期五校协作体高三期初考试

数学试题（文）答案

选择题：

1-5ＤＢＡＣＢ　　6-10　ＣＡＤＤＣ　　11-12　ＢＡ　

二、填空：　

13、３ 14、１ 15、3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0 16、２

三、解答题：　

17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，
点D在线段AC上，且
,

（I）求
；

（II）求BC和AC的长

17、（Ⅰ）、
................4分

（Ⅱ）、设

则

在
中，
,

即

….① ........6分

在
中，
，............8分

由

得
…② .....................10分

由①、②解得
，所以BC=3，AC=3............................12分

18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

错误！未找到引用源。

0.10

0.05

0.010

0.005



错误！未找到引用源。

2.706

3.841

6.635

7.879



（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，

求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。

（参考公式：错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。）

18.

（1）

年龄/正误

正确

错误

合计



20~30

10

30

40



30~40

10

70

80



合计

20

100

120



错误！未找到引用源。

有错误！未找到引用源。的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。------------- 6分

（2）（2）设事件A为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A的结果有16种，错误！未找到引用源。 ------------- 12分

19. 如图，三棱台
中，
分别为
的中点.

（I）求证：
平面
；

（II）若
求证：平面
平面
.

【答案】

试题解析：（I）证法一：连接
设
,连接
，在三棱台
中，
分别为
的中点，可得
，所以四边形
是平行四边形，则
为
的中点，又
是
的中点，所以
,

又
平面
，
平面
，所以
平面
.

证法二：在三棱台
中，由
为
的中点，

可得
所以
为平行四边形，可得

在
中，
分别为
的中点，

所以
又
，

所以平面
平面
，

因为
平面
，

所以
平面
.

..............................6分

(II)证明：连接
.因为
分别为
的中点，所以
由
得
，又
为
的中点，所以
因此四边形
是平行四边形，所以

又
，所以
.

又
平面
，
，所以
平面
，

又
平面
，所以平面
平面
.............12分

20.(本小题满分12分)

已知椭圆
+
=1（
＞
＞
）的离心率为
，且过点（
，
).

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点
的直线
：

，与该椭圆交于
、
两点，直线
、
的斜率依次为
、
，满足
，试问：当
变化时，
是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

20. 解：（1）

依题意可得
解得

所以椭圆C的方程是
……………………………………………………4分

（2）当
变化时，
为定值，证明如下：

由
得，
. ……………………6分

设P
，Q
.

则
，
…………………………………7分

直线OP、OQ的斜率依次为
，且
,

，得
,……………………9分

将
代入得：
，………………………………………………………………11分

经检验满足
.……………………………………………………………………12分

21.(本小题满分12分)

已知函数
（
为自然对数的底数）.

（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
，存在
使得
成立，求实数
的取值范围。

21.解：

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是的⊙
直径，
与⊙
相切于
，
为线段
上一点，连接
、
， 分别交⊙
于
、
两点，连接
交
于点
.

（Ⅰ）求证：