2015—2016学年度上学期五校协作体高三期初考试

数学试题(理科)

考试时间120分钟 试卷满分150分 命题人：丁红 校对人：朱冬梅

说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为主观题，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

1.设集合
则

A.｛0,1,2,3,｝ B.｛5｝ C.｛1,2,4｝ D. {0,4,5}

2. 若复数
满足
为虚数单位），则

A.
B.
C.
D.

3.各项都是正数的等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的值为

A．
B．
C．
D ．
或

4.右边程序框图中，若输入
，
，则输出
的值分别是

A.
B.
C.
D.

5．平面向量
与
的夹角为60°,
则
[:.]

A．
B．
C．4 D．12

6.给出下列四个命题, 其中错误的命题有（ ）个.

（1） 函数
上的单调递增

区间是
;

(2)设随机变量
，若
，则

；

(3)设函数
，
的图象向左平移
个单位，

得到一个偶函数的图象;

(4) “直线
与直线
互相垂直”的充分条件是“
”

A．0 B．1 C． 2 D． 3

7．设函数
是定义在R上的奇函数，当
时，
则
的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

8.由曲线
,直线
及
轴所围成的曲边四边形的面积为

A．
B．
C．
D．

9.曲线
在点（1，2）处的切线为
，则直线
上的任意点P与圆
上的任意点Q之间的最近距离是

A.
B.
C.
D.2

10.几何体的三视图如右图所示，若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的表面积是（注：包括外表面积和内表面积）

A.133
B.100

C.66
D.166

11.已知
分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若
的最小值为8
，则双曲线的离心率
的取值范围是

A.
B.

C.
D.

12.对任意
，不等式
恒成立，则下列不等式错误的是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）。

13.已知
的展开式中含
项的系数为12，则展开式的常数项为__________.

14. 数列
满足
，且
（
），则数列
的前10项和为 .

15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如右数据:

单价
(元)

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9



销量
(件)

90

84

83

80

75

68





由表中数据,求得线性回归方程为
.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为_______.

16.已知抛物线C：
的焦点为F，过点F倾斜角为
的直线
与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则
的值等于 .

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. (本题满分12分)

在
中，
是
中点，已知
.

（1）判断
的形状；

（2）若
的三边长是连续三个正整数，求
的余弦值。

18.(本题满分12分)

某大学志愿者协会中，数学学院志愿者有8人，其中含5名男生，3名女生；外语学院志愿者有4人，其中含1名男生，3名女生。现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两个学院中共抽取3名同学，到希望小学进行支教活动。

（1）求从数学学院抽取的同学中至少有1名女同学的概率；

（2）记
为抽取的
名同学中男同学的人数，求随机变量
的分布列和数学期望.

19.(本题满分12分)

如图，在三棱锥
底面ABC，

且SB=
分别是SA、SC的中点.

（I）求证：平面
平面BCD；

（II）求二面角
的平面角的大小.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆
+
=1（
＞
＞
）的离心率为
，且过点（
，
).

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点
的直线
：

，与该椭圆交于
、
两点，直线
、
的斜率依次为
、
，满足
，试问：当
变化时，
是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.[:]

21.(本小题满分12分)

已知函数
（
为自然对数的底数）.

（1）求函数
的单调区间；

（2）设函数
，存在
使得
成立，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，
是的⊙
直径，
与⊙
相切于
，
为线段
上一点，

连接
、
， 分别交⊙
于
、
两点，连接
交
于点
.

（Ⅰ）求证：
、
、
、
四点共圆.

（Ⅱ）若
为
的三等分点且靠近
，
，
，求线段
的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
，（
为参数），以坐标原点为

极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
[:.]

（Ⅰ）求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点
是曲线
上的一个动点，求它到直线
的距离
的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，且
，求证：
.

2015—2016学年度上学期五校协作体高三期初考试

数学试题(理科)参考答案:

DDBCB ACCAD AD

二.13. 160 14.
15.
16. 3

三.17.解：（I）设

则由

中，由正弦定理得

同理得
…………2分

…………4分

即
因为

………………6分

是等腰三角形或直角三角形。 ………………7分

（II）当
时，

与
的三边长是连续三个正整数矛盾，

，
是等腰三角形。 ………………8分

在直角三角形ADC中，设两直角边分别为

由
得n=4， …………10分

由余弦定理或二倍角公式得

或
…………12分

18. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，

文科组抽取1人，…………………2分

从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，

所以所求的概率为：
. …………………4分

（2）由题意可知
的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分

相应的概率分别是

,
，

,
,………………9分

所以
的分布列为：

0

1

2

3



P











………………10分

. ………………12分

19.

20.解：（1）

依题意可得
解得

所以椭圆C的方程是
……………………………………………………4分

（2）当
变化时，
为定值，证明如下：

由
得，
. ……………………6分

设P
，Q
.

则
，
…………………………………7分

直线OP、OQ的斜率依次为
，且
,

，得
,……………………9分

将
代入得：
，………………………………………………………………11分

经检验满足
.……………………………………………………………………12分

21.解：

22.证明：（Ⅰ）连接
，则
，
，

所以
，所以
，所以
四点共圆.………………5分

（Ⅱ）因为
，则
，又
为
三等分，所以
，
，

又因为
，所以
，
…………………….10分

23．解.（I）直线
的普通方程为：
；

曲线的直角坐标方程为
………………………4分

（II）设点

，则

所以
的取值范围是
. …………………10分

24.解：（I）不等式的解集是
……………………5分

（II）要证
，只需证
，只需证

而
，从而原不等式成立.

…………………… 10分

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