高三数学第二次月考试题（理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
[:]

2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．如图，阴影部分的面积是( ）

A．2
B．2－

C.
D.

4、函数
的值域是

A．
B．
C．
D．

5、下列各组函数中表示同一函数的是（ ）

A．
与
B．
与

C．
与

D．
与
[:.]

6、不等式
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
或
B．
或
C．
D．

7、奇函数
满足对任意
都有
且
则

的值为( ）

A、
B、
C、
D、

8、已知函数
是定义在区间
上的偶函数，当
时，
是减函数，如果不等式
成立，求实数
的取值范围.（ ）

A．
　　B．
　　　C．
　D．（
）

9、已知函数
是R上的增函数，则
的取值范围是（ ）

A、
≤
＜0 B、
≤
≤
C、
≤
D、
＜0

10、函数
的图象大致是（　　）

A B C D

11．函数
的零点个数为

A．
个 B．
个 C．
个 D．
个

12、对于函数f（x）定义域中任意的
，
(
≠
），有如下结论：

①f(
＋
）＝f(
）·f(
） ②f(
·
）＝f(
）＋f(
）

③
④

当f（x）＝lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ( ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、函数
的定义域为 .[:]

14、对任意两个实数
，定义
若
，
，则
的最小值为　 　．

15、设
是定义在R上的偶函数，对任意的
，都有
，且当
时，
，若关于x的方程

在区间
内恰有三个不同实根，则实数
的取值范围是 .

16、已知函数f(x）的导数f′(x）＝a(x＋1）(x－a），若f(x）在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）

17、(10分）已知函数
是奇函数，

（1）求
的值；

（2）若
，求
的值.

18、（12分）已知集合
，集合
，集合
．

（Ⅰ）设全集
，求
；

（Ⅱ）若
，求实数m的取值范围．

19、（12分）已知
是定义在[—1，1]上的奇函数，且
，若
、
，且
时有

（1）判断
在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）若
≤
对所有x∈[—1，1]，
∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

20、（12分）对于函数
，若存在x0∈R，使方程
成立，则称x0为
的不动点，已知函数
（a≠0）．

（1）当
时，求函数
的不动点；

（2）当
时，求
在
上的最小值
.

（3）若对任意实数b，函数
恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

21、（12分）已知函数f（x）=aln x－ax－1(a∈R）.

(1）若a=－1，求函数f（x）的单调区间;[:]

(2）若x1，x2∈[1，+∞），比较ln(x1x2）与x1+x2－2的大小.

22、（12分）设函数f（x）=ln x+
，m∈R.

（Ⅰ）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值;

（Ⅱ）讨论函数g（x）= f′（x）－
零点的个数;[:]

（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，
＜1恒成立，求m的取值范围.

参考答案

一：选择题

1－－6．CDCCDD 7—12DABACB

二：填空题

13、

14． －1 15．
16、（－1，0）

三：解答题

18．（Ⅰ）
，
，
，

．（Ⅱ）∵
，∴
，

当
时，
，

当
时，
或
，解得：
，

综上：实数
的取值范围是
或
．

19、解：（1）任取—1≤x1

f （x1）—f （x2）= f （x1）+f （－x2）=

∵—1≤x1

由已知
＞0，又x1－x2＜0，

∴f （x1）—f （x2）＜0，即f （x）在[—1，1]上为增函数．

（2）由（1）可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f （1）=1，故对x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．

所以要使f（x）≤
，对所有x∈[—1，1]，
∈[—1，1]恒成立，

即要
≥1成立，故
≥0成立．

记g（
）=
对
∈[—1，1]，g（
）≥0恒成立，只需g（
）在[—1，1]上的最小值大于等于零．

故

解得：t≤—2或t=0或t≥2．

20．解：（1）由题得：
，因为
为不动点，

因此有
，即

所以
或
，即3和－1为
的不动点。

（2）

（3）因为
恒有两个不动点，

∴
，

即
（※）恒有两个不等实数根，

由题设
恒成立， 10分

即对于任意b∈R，有
恒成立，

所以有
，

∴

21. (1）当a=－1时，f '(x）=(x>0），

由f '(x）>0得x>1，由f '(x）<0得0

∴函数f(x）的单调递增区间为(1，+∞），单调递减区间为(0，1）.

(2）由(1）可知，当a=－1，x∈[1，+∞）时，f(x）≥f(1），即－ln x+x－1≥0，

∴0≤ln x≤x－1对一切x∈[1，+∞）恒成立.

若x1，x2∈[1，+∞），则0≤ln x1≤x1－1，0≤ln x2≤x2－1，

∴0≤ln x1+ln x2≤x1+x2－2，即0≤ln(x1x2）≤x1+x2－2.

故当x1=x2=1时，ln(x1x2）=x1+x2－2;当x1，x2∈[1，+∞），且x1，x2不全为1时，ln(x1x2）

22、(Ⅰ）由题设，当m=e时， f(x）=ln x+，则f '(x）=，

∴当x∈(0，e）， f '(x）<0， f(x）在(0，e）上单调递减，

当x∈(e，+∞）， f '(x）>0， f(x）在(e，+∞）上单调递增，

∴x=e时， f(x）取得极小值f(e）=ln e+=2，

∴f(x）的极小值为2.

(Ⅱ）m≤0，有1个零点，0＜m＜
，有2个零点，m=
，有1个零点，m＞
，无零点。

(Ⅲ）

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