秦安县第二中学2016届高三级第一次检测考试

高 三 数 学（文科）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、设集合A={1,2,4,6,8}，B={1,2,3,5,6,7} ，则A
B的子集个数为（ ）

A.3 B.6 C.8 D.16

2、下列函数中，周期为π且在[0，]上是减函数的是(　　)

A．y＝sin(x＋) B．y＝cos(x＋) C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x

3、不等式≥2的解集为 (　 　)

A．[－1,0)　　　　　　　 B．[－1，＋∞)

C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)

4、函数y=f（2x-1）的定义域为[0,1]，则f（x）的定义域为（ ）

A．[－1,1]　 B．[
，1) C．[0,1] D．[－1，0]

5、设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)

A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c

6、、已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且?q的一个充分不必要条件是?p，则a的取值范围是（ ）

A．a≥1 B． a≤1 C． a≥﹣1 D． a≤﹣3

7、已知x，y为正实数，则(　　)

A. 2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B. 2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy

C. 2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D. 2lg(xy)＝2lgx·2lgy

8、函数y＝ () 的值域是(　　 )

A．(－∞，4) B．(0，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞)

9、函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)

10．若函数
，若g（m）=0，则实数m的值等于（ ）

A．－3 B． 1 C． －3或1 D．－1或3

11、下列命题错误的是（ ）

A． 命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1

B． “am2＜bm2”是”a＜b”的充分不必要条件

C． 命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0

D．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

12、设f（x）是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f（x+1）=﹣f（x），已知x∈（0，1）时，f（x）=
（1﹣x），则函数f（x）在（1，2）上 （ ）

A．是增函数，且f（x）＜0 B． 是增函数，且f（x）＞0

C．是减函数，且f（x）＜0 D． 是减函数，且f（x）＞0

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数
的最小正周期为 ．

14．若x,y满足约束条件
,则z=2x+y的最大值为 ．

15．椭圆
（
）的右焦点
关于直线
的对称点
在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．

16．若曲线
存在垂直于
轴的切线，则实数
的取值范围是_______.

三、解答题（70分）

17．（本小题满分12分）
的内角
所对的边分别为
，向量
与
平行．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
求
的面积．

18．（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球
和1个白球
的甲箱与装有2个红球
和2个白球
的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（Ⅰ） 用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（Ⅱ） 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，面EBA
面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与面
的所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆上，且
与
轴垂直。

（1）求椭圆的方程；

（2）过
作直线与椭圆交于另外一点
，求
面积的最大值。

21．（本小题满分12分）已知函数
(
∈R)．

(1) 当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
的图象与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请涂清清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，在
中，
，以
为直径的圆
交
于点
，点
是
边的中点，连接
交圆
于点
.

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；

（Ⅱ）求证：
.

23．（本小题满分10分）选修4-4: 坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）设点

，若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值.[:.]

24．（本小题满分10分）选修4-5: 不等式选讲

设函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
，使得
，求实数
的取值范围.[:]

数学答案（文科）

1、C 2、D 3、A 4、A 5、D 6、A 7、D 8、C 9、A 10、C 11、D 12、D

13．
【解析】因为
，所以
，所以函数
的最小正周期为
．【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式．【名师点睛】本题先用二倍角的余弦公式把函数转化为
，再根据
求周期．二倍角的余弦公式可正用、逆用以及变形运用．

14．8【解析】试题分析：不等式组
表示的可行域是以
为顶点的三角形区域,
的最大值必在顶点处取得,经验算,
时
.

15．
【解析】设
关于直线
的对称点为
，则有
，解得
，所以
在椭圆上，即有
，解得
，所以离心率
．

16．
【解析】试题分析：存在垂直于y轴的切线，即是有极值点.
,又
，当
单调减，无极值，当

有根，所以有极值点，存在垂直于y轴的切线.则
.考点：用导数求函数的极值.

17．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
．【解析】试题分析： （Ⅰ）因为
，所以
，由正弦定理，得
，又
，从而
，由于
，所以
；（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得
，代入数值求得
，由面积公式得
面积为
．解法二：由正弦定理，得
，从而
，又由
知
，所以
，由
，计算得
，所以
面积为
．试题解析：（Ⅰ）因为
，所以
由正弦定理，得
，又
，从而
，由于
所以

（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得
，而
，
，

得
，即
因为
，所以
，故
面积为
．解法二：由正弦定理，得
从而
又由
知
，所以
故

，

所以
面积为
．

18．（Ⅰ）

（Ⅱ）说法不正确；【解析】试题分析：（Ⅰ）利用列举法列出所有可能的结果即可；（Ⅱ）在（Ⅰ）中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的；试题解析：（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：

（Ⅱ）不正确，理由如下：

由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为
共4种，所以中奖的概率为
，不中奖的概率为
，故这种说法不正确。【考点定位】概率统计

19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
．【解析】试题分析：（Ⅰ）此问证明异面直线垂直，可以转化为证明线面垂直，线线垂直，所以做取
中点
，连接
，
，根据条件可证明：
平面
；（Ⅱ） 直线
与面
的所成角的正弦值
，所以可以根据等体积转化求点
到平面
的距离．试题解析：（Ⅰ）作
交
于
，连接
，
为等腰直角三角形
为
中点
，
∥
，

四边形
是边长为1的正方形
，（4分）

（6分）
；（7分）（Ⅱ）记点C到面BDE的距离为
由
易求得
又
（13分）直线
与面
的所成角的正弦值
考点：1．线面垂直的判定定理；2．线面角的计算；3．等体积转化．20．（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）本题考察的是求椭圆的标准方程，只需确定
即可。本题根据题目条件，
，
，∴
，
，从而确定椭圆的方程是
。（2）本题考察的直线与椭圆的位置关系，需要分直线
的斜率不存在或斜率存在两种情况讨论，根据弦长公式和点到直线的距离公式，表示出
面积的表达式，从而求出
面积的最大值。试题解析：（1）有已知：
，
，∴
，
故椭圆方程为
（2）当
斜率不存在时：
当AB斜率存在时：设其方程为：
由
，得
由已知：

即：


到直线
的距离：

∴
∵
，∴
，∴
，∴
此时
综上所求：当
斜率不存在或斜率为零时，
面积取最大值为

21． （1）当
时,
取得极大值为

;当
时,
取得极小值为

.

（2）a的取值范围是
． 【解析】试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2） 根据
=
，得到△=
=
.据此讨论：① 若a≥1，则△≤0， 此时
≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0）
，
,得到结论.② 若a＜1，则△＞0，
= 0有两个不相等的实数根，不妨设为
．有
． 给出当
变化时，
的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞
．作出结论.试题解析： （1）当
时，
，∴

.令
=0, 得
. 当
时,
, 则
在
上单调递增;

当
时,
, 则
在
上单调递减;当
时,
,
在
上单调递增. ∴ 当
时,
取得极大值为

;当
时,
取得极小值为

.（2） ∵
=
，∴△=
=
.①若a≥1，则△≤0，∴
≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0）
，
, ∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

② 若a＜1，则△＞0，∴
= 0有两个不相等的实数根，不妨设为
．∴
． 当
变化时，
的取值情况如下表：

x



x1

（x1，x2）

x2







+

0

－

0

+



f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗



∵
,∴
.∴

=


.

同理

.∴

.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞
．而当
时,
, 故当
时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是
．考点：应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想.

22．证明见解析

【解析】试题分析：证明DE是圆的切线，只需说明两点，第一DE过圆上一点E，第二DE与半径OE垂直，如何证明
呢？可考虑证明
，由OD为
的中位线可知:
，连接OE，有
，OD为公共边，两个三角形全等，问题得证；延长DO交圆于F，左边由切割线定理：
，右边

，问题得证；试题解析：（Ⅰ）连结
.∵点
是
的中点，点
是
的中点，∴
，∴
，
.∵
，∴
，∴
.在
和
中，

∵
，
，∴
，即
.∵
是圆
上一点，∴
是圆
的切线.

（Ⅱ）延长
交圆
于点
.∵
≌
，∴
.∵点
是
的中点，∴
.∵
是圆
的切线，∴
.∴
. ∵
，∴
.∵
是圆
的切线，
是圆
的割线，∴
，∴

23．（1）
，
；（2）
或
或

【解析】试题分析：首先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，把直线的参数方程中的参数
消去化为普通方程，把直线的参数方程代入圆的标准方程得到关于
的一元二次方程，由于直线与圆有两个交点，方程有两个实根，所以要求判别式为正，解得
的范围，利用根与系数关系表示